Bài 7 trang 97 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

4.5 K

Với giải Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Tích của một số với một vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Phương pháp giải:

a) Xác định hướng và tỉ số độ dài

$\vec{M B} = k . \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = k$

b) Phân tích $\vec{M N}$ theo hai vecto $\vec{M B}, \vec{N B}$

c) $M, N, P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{M N} = k . \vec{M P}$ $(k \in Z^{*})$

Lời giải:

a) Ta có:

+) $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = 2$

$\Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho $M B = \frac{1}{2} B C$

+) $\vec{A N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow \vec{A B} + \vec{B N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow 4 \vec{N B} = \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{N B} = \frac{1}{4} \vec{A B}$

$\Rightarrow N$ thuộc đoạn thẳng AB và $N B = \frac{1}{4} A B$

+) $\vec{C P} = \vec{P A} \Leftrightarrow \vec{P C} + \vec{P A} = \vec{0}$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của CA

b) $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$

$\begin{array}{l} \vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \vec{M C} + \frac{1}{2} \vec{C A} \\ = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} (\vec{B A} - \vec{B C}) \\ = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} \end{array}$

c) Ta có:

$\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A};$ $\vec{M P} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{M P} = 2 \vec{M N}$

Vậy $M, N, P$ thẳng hàng

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O E}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và $\vec{O D} + \vec{O C} = \vec{O F}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O E} + \vec{O F}$

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF.

Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF

Suy ra $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ $\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

Hướng dẫn giải

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A E}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\vec{A E} = 2 \vec{A M}$ (M là trung điểm của AE)

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} \Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

Xét hình bình hành ABCD có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + (\vec{A B} + \vec{A D})}{2} = \frac{\vec{A B} + \vec{A B} + \vec{A D}}{2}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{2 \vec{A B} + \vec{A D}}{2} = \frac{2 \vec{A B}}{2} + \frac{\vec{A D}}{2} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

Vậy $\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} .$

Bài 3. Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + 2 (\vec{M G} + \vec{G C}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + 2 \vec{M G} + 2 \vec{G C} = \vec{0}$