Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tích của một số với một vecto

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

4.4 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

Giải toán lớp 10 trang 94 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10: Cho vectơ $\vec{a}$ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a} + \vec{a}, (- \vec{a}) + (- \vec{a})$ : (Hình 1)

Lời giải:

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ $\vec{a} + \vec{a} = \vec{A C}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\vec{a}$ và cùng hướng với vectơ $\vec{a}$

Vectơ $(- \vec{a}) + (- \vec{a}) = \vec{D F}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $(- \vec{a})$ và cùng hướng với vectơ $(- \vec{a})$

Giải toán lớp 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: $| 3 \vec{b} |, | - 3 \vec{b} |, | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của vectơ $\vec{a}; \vec{b}$

Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài $\frac{| \vec{x} |}{| \vec{a} |}$

Lời giải:

a) $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ có độ dài bằng 3 lần vectơ $\vec{a}$ , cùng hướng với vectơ $\vec{a}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

$\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ có độ dài bằng 3 lần vectơ $- \vec{b}$ , ngược hướng với vectơ $\vec{b}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là $\sqrt{2}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ . Suy ra:

$| 3 \vec{b} | = 3 | \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ ; $| - 3 \vec{b} | = 3 | \vec{- b} | = 3 \sqrt{2}$ ; $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 (\vec{a} + \vec{b}) | = 2 | \vec{a} + \vec{b} |$

Từ điểm cuối của vectơ $\vec{a}$ vẽ một vectơ bằng vectơ $\vec{b}$ ta có $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ $\vec{c}$ là $| \vec{c} | = \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})} = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{2}}^{2} - 2.2. \sqrt{2} . \cos (135^{\circ})} = \sqrt{10}$

$\Rightarrow | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 | \vec{a} + \vec{b} | = 2 | \vec{c} | = 2 \sqrt{10}$

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm $\vec{M A} = \vec{M G} + \vec{G A}$

Lời giải:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G} \Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{M G} + \vec{M G}) + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} = 3 \vec{M G}$ (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tòa A.

Lời giải:

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài $\frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \vec{b} = - \frac{5}{2} \vec{a}$

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

Giải toán lớp 10 trang 96 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khác $\vec{0}$ và cho $\vec{c} = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b}$ . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$

Lời giải:

vectơ $\vec{c} = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b}$ có độ dài gấp $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$ lần vectơ $\vec{b}$ và cùng hướng với vectơ $\vec{b}$

+) Nếu hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ cùng hướng và ngược lại

+) $| \vec{c} | = | \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . \vec{b} | = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} . | \vec{b} | = | \vec{a} |$ . Suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{c}$ có cùng độ dài

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và quy tắc ba điểm

$\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G I}$ với I là trung điểm AB

$\vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0} \Leftrightarrow$ G là trung điểm IJ.

Lời giải:

Ta có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{G I} + \vec{I A}) + (\vec{G I} + \vec{I B}) + (\vec{G J} + \vec{J C}) + (\vec{G J} + \vec{J D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) + 2 \vec{G J} + (\vec{J C} + \vec{J D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + 2 \vec{G J} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 (\vec{G I} + \vec{G J}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0} \Rightarrow$ G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

Bài tập

Giải toán lớp 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

$a) \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

$b) \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{M A} = \vec{M O} + \vec{O A}$ và tính chất trung điểm $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$

b) Sử dụng tính chất của bình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Lời giải:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O C} + \vec{M O} + \vec{O D} = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O B}) + (\vec{O C} + \vec{O D}) = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M O} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M O} \Leftrightarrow 4 \vec{M O} = 4 \vec{M O}$ (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A C} = \vec{A C} + \vec{A C} = 2 \vec{A C}$ (đpcm)

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng:

$a) \vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N} b) \vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

Phương pháp giải:

Chèn điểm M: $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B}$ ,

Tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$

Lời giải:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D} = (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{M N} + \vec{M N}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) = \vec{0} + 2 \vec{M N} + \vec{0} = 2 \vec{M N}$ (đpcm)

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

$\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N D}$

$(\vec{B M} + \vec{A M}) + (\vec{M N} + \vec{M N}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) = 2 \vec{M N}$

Mặt khác ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$

Suy ra $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D} \\ \Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D} \\ \Leftrightarrow \vec{D C} = \vec{D C} (đ p c m) \end{array}$

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ

Bước 2: Xác định tỉ số độ dài $\frac{| \vec{M A} |}{| \vec{M B} |}$

Lời giải:

Cách 1:

$\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} = - 4 \vec{M B} \Rightarrow \frac{M A}{M B} = \frac{| \vec{M A} |}{| \vec{M B} |} = \frac{| - 4 \vec{M B} |}{| \vec{M B} |} = 4$ và hai vectơ $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho $\frac{M A}{M B} = 4$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{M B} + \vec{B A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 5 \vec{M B} = \vec{A B} \end{array}$

Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho $M B = \frac{1}{5} A B$

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng

\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{M A} = \vec{M O} + \vec{O A}$ và tính chất trung điểm $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$

(với O là trung điểm của AB)

Lời giải:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = (\vec{M G} + \vec{G E} + \vec{E A}) + (\vec{M G} + \vec{G E} + \vec{E B}) \\ + (\vec{M G} + \vec{G F} + \vec{F C}) + (\vec{M G} + \vec{G F} + \vec{F D}) \end{array}$

$= (\vec{M G} + \vec{M G} + \vec{M G} \vec{+ M G}) + 2 (\vec{G E} + \vec{G F}) + (\vec{E A} + \vec{E B}) + (\vec{F C} + \vec{F D})$

$= 4 \vec{M G} + 2. \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M G}$ (đpcm)

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10: Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc của máy bay B theo vectơ vận tốc của máy bay A

Lời giải:

Vecto $\vec{a}, \vec{b}$ là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó $| \vec{a} |, | \vec{b} |$ lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Ta có: $| \vec{a} | = 600, | \vec{b} | = 800$

$\Rightarrow \frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{800}{600} = \frac{4}{3}$

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó $\vec{b} = - \frac{4}{3} \vec{a}$

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10: Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$

Phương pháp giải:

a) Chèn điểm: $\vec{O A} = \vec{O B} + \vec{B A}$

Từ đó tìm $\vec{O B}$ theo $\vec{A B}$ đã biết

b) Chèn điểm O, làm xuất hiện $\vec{M O}$ ở vế trái.

Lời giải:

a) $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{B A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + 3 \vec{O B} = - \vec{B A} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{O B} = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} = \frac{1}{4} \vec{A B} \end{array}$

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho $O B = \frac{1}{4} A B$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 3 \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + 3 (\vec{M O} + \vec{O B}) \\ = (\vec{M O} + 3 \vec{M O}) + (\vec{O A} + 3 \vec{O B}) \\ = 4 \vec{M O} + \vec{0} = 4 \vec{M O} . (đ p c m) \end{array}$

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Phương pháp giải:

a) Xác định hướng và tỉ số độ dài

$\vec{M B} = k . \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = k$

b) Phân tích $\vec{M N}$ theo hai vecto $\vec{M B}, \vec{N B}$

c) $M, N, P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{M N} = k . \vec{M P}$ $(k \in Z^{*})$

Lời giải:

a) Ta có:

+) $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = 2$

$\Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho $M B = \frac{1}{2} B C$

+) $\vec{A N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow \vec{A B} + \vec{B N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow 4 \vec{N B} = \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{N B} = \frac{1}{4} \vec{A B}$

$\Rightarrow N$ thuộc đoạn thẳng AB và $N B = \frac{1}{4} A B$

+) $\vec{C P} = \vec{P A} \Leftrightarrow \vec{P C} + \vec{P A} = \vec{0}$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của CA

b) $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$

$\begin{array}{l} \vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \vec{M C} + \frac{1}{2} \vec{C A} \\ = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} (\vec{B A} - \vec{B C}) \\ = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} \end{array}$

c) Ta có:

$\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A};$ $\vec{M P} = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{M P} = 2 \vec{M N}$

Vậy $M, N, P$ thẳng hàng

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của số k với $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ .

Vectơ $k \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $|k| . |\vec{a}|$ .

Ta quy ước $0 \vec{a} = \vec{0}$ và $k \vec{0} = \vec{0}$ .

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2 \vec{D E}; - \frac{1}{2} \vec{C A}; - 2 \vec{E C}$ .

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng $2 \vec{D E}$ :

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với $\vec{D E}$ và có độ dài bằng 2DE.

Ta có $\vec{D E}$ cùng hướng với $\vec{A C}$ và 2DE = AC.

Do đó $2 \vec{D E} = \vec{A C}$ .

+ Vectơ bằng $- \frac{1}{2} \vec{C A}$ :

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = $\frac{1}{2} C A$ .

Vì k = $- \frac{1}{2}$ < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{C A}$ và có độ dài bằng $\frac{1}{2} C A$ .

Ta có $\vec{A F}, \vec{F C}$ ngược hướng với $\vec{C A}$ và AF = FC = $\frac{1}{2} C A$ .

Do đó $\vec{A F} = \vec{F C} = - \frac{1}{2} \vec{C A}$ .

+ Vectơ bằng $- 2 \vec{E C}$ :

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{E C}$ và có độ dài bằng 2EC.

Ta có $\vec{C B}$ ngược hướng với $\vec{E C}$ và CB = 2EC.

Do đó $\vec{C B} = - 2 \vec{E C}$ .

Tính chất:

Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ ;

+) $(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}$ ;

+) $h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$ ;

+) $1. \vec{a} = \vec{a}$ ;

+) $(- 1) . \vec{a} = - \vec{a}$ .

Ví dụ: Ta có:

a) $6 (\vec{x} + \vec{y}) = 6 \vec{x} + 6 \vec{y}$ ;

b) $(3 + x) \vec{u} = 3 \vec{u} + x \vec{u}$ ;

c) $6. (- 5 \vec{i}) = [6. (- 5)] \vec{i} = - 30 \vec{i}$ ;

d) $2 \vec{c} - 7 \vec{c} = (2 - 7) \vec{c} = - 5 \vec{c}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b} \neq \vec{0}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ .

a) Biểu diễn $\vec{M P}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{M B} = 3 \vec{M C} \Rightarrow |\vec{M B}| = |3| . |\vec{M C}| \Rightarrow M B = 3 M C$ .

Mà $\vec{M B}, \vec{M C}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$ AB.

Mà $\vec{A P}, \vec{A B}$ cùng hướng.

Suy ra $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{M B} = \vec{M C} + \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M B} + \vec{C A} + \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \vec{M B} = - \vec{A C} + \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Ta có

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} - \vec{M B} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ (1)

b) Ta có $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{N A} = - 3 \vec{N C}$ .

Do đó $|\vec{N A}| = |- 3| . |\vec{N C}|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$ AC.

Mà $\vec{N A}, \vec{N C}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $A N = \frac{3}{4} A C .$

Suy ra $\vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$