Thực hành 1 trang 62 Toán lớp 10: Tìm các giá trị lượng giác của góc ${135}^o$

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={135}^o$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos {135}^o,\sin {135}^o$

Từ đó suy ra$\tan {135}^o=\frac{\sin {135}^o}{\cos {135}^o},\cot {135}^o=\frac{\cos {135}^o}{\sin {135}^o}.$

Lời giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={135}^o$, H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.

Ta có: $\widehat{MOy}={135}^o-{90}^o={45}^o$.

Tam giác OMH vuông cân tại H nên $OH=MH=\frac{OM}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy tọa độ điểm M là $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Vậy theo định nghĩa ta có:

 $\begin{array}{l}\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos {135}^o=-\frac{\sqrt{2}}{2};\\ \tan {135}^o=-1;\cot {135}^o=-1.\end{array}$

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc ${135}^o$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin {135}^o$, bấm phím:  sin  1  3  5  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Tính $\cos {135}^o$,bấm phím:  cos  1  3  5  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{-\sqrt{2}}{2}$

Tính $\tan {135}^o$, bấm phím:  tan  1  3  5  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $-1$

(Để tính $\cot {135}^o$, ta tính $1:\tan {135}^o$)

Lý thuyết Giá trị lượng giác

Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
 

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ . Gọi ($x_0$; $y_0$) là toạ độ điểm M, ta có:

- Tung độ $y_0$ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = $y_0$;

- Hoành độ $x_0$ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = $x_0$;

- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ ($x_0$ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$  

- Tỉ số  $\frac{y_0}{x_0}$ ($y_0$ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{x_0}{y_0};$

Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=150°.$ 

Ta có  $\widehat{MOy}=150°-90°=60°$.

Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right).$  

Theo định nghĩa ta có:

 $\sin 150°=\frac{1}{2};$ $\text{cos150}°=-\frac{\sqrt{3}}{2};$  $\tan 150°=-\frac{1}{\sqrt{3}};$  $\cot 150°=-\sqrt{3}.$   

Chú ý: 

a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.

Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.

cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.

Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.

Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

HĐ Khám phá 1 trang 61 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính  nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  Giả sử điểm M có tọa độ  Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:...

HĐ Khám phá 2 trang 62 Toán lớp 10: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\widehat{xOm}$ và $\widehat{xOn}$...

Thực hành 2 trang 63 Toán lớp 10: Tính các giá trị lượng giác: $\sin 120°; \cos 150°; cot 135°$...

Vận dụng 1 trang 63 Toán lớp 10: Cho biết $\sin \alpha =\frac{1}{2}$, tìm góc $\alpha (0\le \alpha \le 180°)$ bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị...

Thực hành 3 trang 63 Toán lớp 10: Tính:...

Vận dụng 2 trang 64 Toán lớp 10: Tìm góc $\alpha (0\le \alpha \le 180°)$ trong mỗi trường hợp sau:...

Thực hành 4 trang 65 Toán lớp 10: a) Tính $\cos 80°43\text{'}51\text{'}\text{'}$; $\tan 147°12\text{'}25\text{'}\text{'}$; $cot 99°9\text{'}19\text{'}\text{'}$...

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10: Cho biết sin 30° = $\frac{1}{2}$; sin60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; tan45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos30° + sin150° + tan135°.

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10: Chứng minh rằng:...

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10: Tìm α (0° ≤ α  ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:...

Bài 4 trang 65 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:...

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α  ≤ 180°), ta đều có:...

Bài 6 trang 65 Toán lớp 10: Cho góc α với cosα  = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức A = 2sin2α  + 5cos2α...

Bài 7 trang 65 Toán lớp 10: Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:...

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4