Với giải Hoạt động 5 trang 25 Toán 11 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Hoạt động 5 trang 25 Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24.

a) Nêu tập giá trị của hàm số y = sinx.

b) Gốc toạ độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số y = sinx.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta có nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = sinx có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx.

Lời giải:

a) Tập giá trị của hàm số y = sinx là [‒1; 1].

b) Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

c)

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = sinx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = sinx trên ℝ, với T = 2π và x ∈ ℝ ta có:

• x + 2π ∈ ℝ và x – 2π ∈ ℝ;

• f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right);\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right);\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right);\mathrm{...}$

Ta có: $\left(-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}-2\pi ;\frac{\pi }{2}-2\pi \right)$;

$\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}+2\pi ;\frac{\pi }{2}+2\pi \right)$;

…

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ với k ∈ ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right);\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right);\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right);\mathrm{...}$

Ta có: $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)=\left(\frac{\pi }{2}-2\pi ;\frac{3\pi }{2}-2\pi \right)$;

…

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$ với k ∈ ℤ.

Lý thuyết Hàm số y = sinx

2.1. Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực sinx được gọi là hàm số y = sinx.

Tập xác định của hàm số y = sinx là ℝ.

2.2. Đồ thị của hàm số y = sinx

Ta có đồ thị của hàm số y = sinx trên ℝ được biểu diễn ở Hình 1:

2.3. Tính chất của hàm số y = sinx

Hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1] và có những tính chất sau:

⦁ Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O;

⦁ Là hàm số tuần hoàn chu kì 2π;

⦁ Là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng  với k ∈ ℤ.

Ví dụ 3.

+ Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng  vì:

+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng  vì:

Nhận xét: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx (Hình 1), ta thấy sinx = 0 tại những giá trị x = kπ (k ∈ ℤ). Vì vậy, tập hợp các số thực x sao cho sinx ≠ 0 là E = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.