Với giải Luyện tập 2 trang 23 Toán 11 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Luyện tập 2 trang 23 Toán 11 Tập 1: Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.

Lời giải:

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

Ta thấy, hàm số xác định trên ℝ. Xét một số thực tùy ý.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

Lý thuyết Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

1.1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D.

⦁ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = f(x).

⦁ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D và f(–x) = –f(x).

Chú ý:

⦁ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

⦁ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau, từ đó xác định đồ thị hàm số có nhận trục Oy làm trục đối xứng hay nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng hay không.

a) f(x) = –5x² + 2;

b) g(x) = 2x;

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) = –5x² + 2, có:

⦁ Tập xác định là D = ℝ;

⦁ ∀x ∈ ℝ thì –x ∈ ℝ và f(–x) = –5.(–x)² + 2 = –5x² + 2 = f(x).

Vậy hàm số f(x) = –5x² + 2 là hàm số chẵn và đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng.

b) Hàm số g(x) = 2x, có:

⦁ Tập xác định là D = ℝ;

⦁ ∀x ∈ ℝ thì –x ∈ ℝ và g(–x) = 2.(–x) = –2x = –g(x).

Vậy hàm số g(x) = 2x là hàm số lẻ và đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

c) Hàm số , có tập xác định là D = ℝ \{2}.

Ta thấy x = –2 ∈ D nhưng x = 2 ∉ D.

Vậy hàm số  không chẵn không lẻ và không nhận trục Oy làm trục đối xứng, cũng không nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

1.2 Hàm số tuần hoàn

Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số y = f(x) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x ∈ D, ta có:

⦁ x + T ∈ D và x – T ∈ D;

⦁ f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = 4 và một số T dương.

Hàm số f(x) có phải là hàm số tuần hoàn không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = 4, có:

⦁ Tập xác định là D = ℝ.

⦁ Nếu x ∈ ℝ thì x + T ∈ ℝ.

Tương tự, nếu x ∈ ℝ thì x – T ∈ ℝ.

⦁ Vì f(x) là hàm số hằng nên ∀x ∈ ℝ thì f(x) = 4.

Do đó f(x + T) = f(x) = 4.

Vậy hàm số f(x) = 4 là hàm số tuần hoàn với chu kì T, với T là một số dương bất kì.

Nhận xét: Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a – T; a]).