Với giải sách bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương VI sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài tập cuối chương VI

Giải SBT Toán 7 trang 55 Tập 2

Bài 50 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2

Giá trị của biểu thức (x2 – 8)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) tại x = 3 là:

A. – 2

B. 16

C. – 10

D. 10

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = 3 vào biểu thức (x² – 8)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) ta được:

(3² – 8)(3 + 3) – (3 – 2)(3 + 5) = 1 . 6 – 1 . 8 = –2.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 51 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a) – 2 022x;

b) – 6x² – 4x + 2;

c) 3uⁿ – 8u² – 20 (n ∈ ℕ, n > 2);

d) $\frac{1}{x}+x^3-2x^2+1$.

Lời giải:

a) Biểu thức –2 022x là một đa thức một biến x.

Đa thức này có bậc là 1.

b) Biểu thức – 6x² – 4x + 2 là một đa thức một biến x.

Đa thức này có bậc là 2.

c) Biểu thức 3uⁿ – 8u² – 20 (n ∈ ℕ, n > 2) là một đa thức một biến u.

Đa thức này có bậc là n với n ∈ ℕ, n > 2.

d) Biểu thức $\frac{1}{x}+x^3-2x^2+1$ không phải là một đa thức một biến x.

Bài 52 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = 56 – 5a + 6b tại a = 22, b = 23;

b) B = 6xyz – 3xy – 19z tại x = 11, y = 32, z = 0;

c) C = x²⁰²¹y – 2 022x² + 2 023y³ + 7 tại x = –1 và y = 1;

d) D = x⁴ – 17x³ + 17x² – 17x + 21 tại x = 16.

Lời giải:

a) Thay a = 22, b = 23 vào A = 56 – 5a + 6b ta có:

A = 56 – 5 . 22 + 6 . 23 = 56 – 110 + 138 = 84.

Vậy tại a = 22, b = 23 thì biểu thức A có giá trị bằng 84.

b) Thay x = 11, y = 32, z = 0 vào B = 6xyz – 3xy – 19z ta có:

B = 6 . 11 . 32 . 0 – 3 . 11 . 32 – 19 . 0

= 0 – 1 056 – 0 = –1 056.

Vậy tại x = 11, y = 32, z = 0 thì biểu thức B có giá trị bằng –1 056.

c) Thay x = –1 và y = 1 vào C = x²⁰²¹y – 2 022x² + 2 023y³ + 7 ta có:

C = (–1)²⁰²¹ . 1 – 2 022 . (–1)² + 2 023 . 1³ + 7

= –1 – 2 022 + 2023 + 7 = 7.

Vậy tại x = –1 và y = 1 thì biểu thức C có giá trị bằng 7.

d) Với x = 16 ta có x + 1 = 17.

Khi đó ta có:

D = x⁴ – 17x³ + 17x² – 17x + 21

= x⁴ – (x + 1) . x³ + (x + 1) . x² – (x + 1) . x + 21

= x⁴ – x⁴ – x³ + x³ + x² – x² – x + 21

= – x + 21

Thay x = 16 vào D = – x + 21 ta có:

D = – 16 + 21 = 5.

Vậy tại x = 16 thì biểu thức D có giá trị bằng 5.

Bài 53 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Một bể đang chứa 500 l nước. Người ta mở một vòi nước cho chảy vào bể đó, mỗi phút vòi nước đó chảy vào bể được 50 l nước. Viết biểu thức biểu thị lượng nước có trong bể sau khi đã mở vòi nước đó được x phút, biết rằng sau x phút bể nước đó chưa đầy.

Lời giải:

Mỗi phút vòi nước đó chảy vào bể được 50 l nước thì sau x phút vòi nước đó chảy vào bể được 50x (l nước).

Bể đang chứa 500 l nước, chảy thêm được 50x (l nước) thì sau x phút, lượng nước trong bể có là 500 + 50x (l nước).

Bài 54 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Viết đa thức biến x trong mỗi trường hợp sau:

a) Đa thức bậc nhất có hệ số của biến bằng – 7 và hệ số tự do bằng 0.

b) Đa thức bậc ba có hệ số của lũy thừa bậc hai và bậc nhất của biến đều bằng 5.

c) Đa thức bậc bốn có tổng hệ số của lũy thừa bậc ba và bậc hai của biến bằng 6 và hệ số tự do bằng – 1.

d) Đa thức bậc tám trong đó tất cả các hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0.

Lời giải:

a) Gọi đa thức bậc nhất biến x cần tìm có dạng ax + b (a ≠ 0).

Đa thức trên có:

• Hệ số của biến bằng – 7 nên a = – 7.

• Hệ số tự do bằng 0 nên b = 0.

Vậy đa thức biến x cần tìm là –7x.

b) Gọi đa thức bậc ba biến x cần tìm có dạng ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

Đa thức trên có:

• Hệ số của lũy thừa bậc hai bằng 5 nên b = 5;

• Hệ số của lũy thừa bậc nhấ bằng 5 nên c = 5;

Vậy đa thức biến x cần tìm là ax³ + 5x² + 5x + d (a ≠ 0).

c) Gọi đa thức bậc bốn biến x cần tìm có dạng ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e (a ≠ 0).

Đa thức trên có:

• Tổng hệ số của lũy thừa bậc ba và bậc hai của biến bằng 6 nên b + c = 6.

Do đó c = 6 – b.

• Hệ số tự do bằng – 1 nên e = – 1.

Vậy đa thức biến x cần tìm là ax⁴ + bx³ + (6 – b)x² + dx – 1 (a ≠ 0).

d) Đa thức bậc tám biến x trong đó tất cả các hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0 là: ax⁸ + bx⁶ + cx⁴ + dx² + e (a ≠ 0).

Bài 55 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc ba theo biến x:

P(x) = (m² – 25)x⁴ + (20 + 4m)x³ +17x² – 23.

Lời giải:

Đa thức P(x) là đa thức bậc ba khi và chỉ khi:

m² – 25 = 0 (1) và 20 + 4m ≠ 0 (2)

• Giải (2):

20 + 4m ≠ 0

4m ≠ –20

m ≠ –5

• Giải (1):

m² – 25 = 0

m² = 25

m² = 5² = (–5)²

m = 5 (thỏa mãn m ≠ –5) hoặc m = –5 (không thỏa mãn m ≠ –5).

Vậy với m = 5 thì đa thức P(x) đã cho là đa thức bậc ba.

Bài 56 trang 55 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức A(x) = – 11x⁵ + 4x³ – 12x² + 11x⁵ + 13x² – 7x + 2.

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức A(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm bậc của đa thức A(x).

c) Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = –1; x = 0; x = 2.

Lời giải:

a) A(x) = – 11x⁵ + 4x³ – 12x² + 11x⁵ + 13x² – 7x + 2.

= (– 11x⁵ + 11x⁵) + 4x³ + (– 12x² + 13x²) – 7x + 2.

= 4x³ + x² – 7x + 2.

Vậy A(x) = 4x³ + x² – 7x + 2.

b) Đa thức A(x) = 4x³ + x² – 7x + 2 có bậc là 3 do số mũ lớn nhất của biến x là 3.

c) Xét đa thức A(x) = 4x³ + x² – 7x + 2.

• Tại x = –1 ta có:

A(–1) = 4 . (–1)³ + (–1)² – 7 . (–1) + 2

= –4 + 1 + 7 + 2 = 6.

• Tại x = 0 ta có:

A(0) = 4 . 0³ + 0² – 7 . 0 + 2

= 0 + 0 – 0 + 2 = 2.

• Tại x = 2 ta có:

A(2) = 4 . 2³ + 2² – 7 . 2 + 2

= 32 + 4 – 14 + 2 = 24.

Vậy A(–1) = 6; A(0) = 2 và A(2) = 24.

Giải SBT Toán 7 trang 56 Tập 2

Bài 57 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính:

a) (– 4x³ – 13x² + 2x⁵) + (13x² + 2x³ – 12x – 1);

b) (12x⁶ – 11x² + 3x³ + 9) – (13x⁶ + 2x³ – 11x² – 11x);

c) (8x³ – x² + 1)(x² – 1);

d) (8x³ + 6x² + 3x + 1) : (2x + 1).

Lời giải:

a) (– 4x³ – 13x² + 2x⁵) + (13x² + 2x³ – 12x – 1)

= – 4x³ – 13x² + 2x⁵ + 13x² + 2x³ – 12x – 1

= 2x⁵ + (– 4x³ + 2x³) + (– 13x² + 13x²) – 12x – 1

= 2x⁵ – 2x³ – 12x – 1.

b) (12x⁶ – 11x² + 3x³ + 9) – (13x⁶ + 2x³ – 11x² – 11x)

= 12x⁶ – 11x² + 3x³ + 9 – 13x⁶ – 2x³ + 11x² + 11x

= (12x⁶ – 13x⁶) + (3x³ – 2x³) + (– 11x² + 11x²) + 11x + 9

= – x⁶ + x³ + 11x + 9.

c) (8x³ – x² + 1)(x² – 1)

= 8x³ . (x² – 1) – x² . (x² – 1) + (x² – 1)

= 8x⁵ – 8x³ – x⁴ + x² + x² – 1

= 8x⁵ – x⁴ – 8x³ + 2x² – 1.

d) (8x³ + 6x² + 3x + 1) : (2x + 1)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (8x³ + 6x² + 3x + 1) : (2x + 1) = 4x² + x + 1.

Bài 58 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm đa thức C(x) sao cho A(x) – C(x) = B(x), biết:

a) A(x) = x³ + x² + x – 2, B(x) = 9 – 2x + 11x³ + x⁴.

b) A(x) = – 12x⁵ + 2x³ – 2, B(x) = 9 – 2x – 11x² + 2x³ – 11x⁵.

Lời giải:

Ta có A(x) – C(x) = B(x)

Suy ra C(x) = A(x) – B(x)

a) Với A(x) = x³ + x² + x – 2, B(x) = 9 – 2x + 11x³ + x⁴ ta có:

C(x) = (x³ + x² + x – 2) – (9 – 2x + 11x³ + x⁴)

= x³ + x² + x – 2 – 9 + 2x – 11x³ – x⁴

= – x⁴ + (x³ – 11x³) + x² + (x + 2x) – 2 – 9

= – x⁴ – 10x³ + x² + 3x – 11.

b) Với A(x) = –12x⁵ + 2x³ – 2, B(x) = 9 – 2x – 11x² + 2x³ – 11x⁵ ta có:

C(x) = (– 12x⁵ + 2x³ – 2) – (9 – 2x – 11x² + 2x³ – 11x⁵)

= – 12x⁵ + 2x³ – 2 – 9 + 2x + 11x² – 2x³ + 11x⁵

= (– 12x⁵ + 11x⁵) + (2x³ – 2x³) + 11x² + 2x – 2 – 9

= – x⁵ + 11x² + 2x – 11.

Bài 59 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm đa thức Q(x) sao cho P(x).Q(x) = R(x), biết:

a) P(x) = x – 2, R(x) = –x³ + 8;

b) P(x) = x² – 3x + 2, R(x) = 10 – 13x + 2x² + x³.

Lời giải:

Ta có P(x).Q(x) = R(x)

Suy ra Q(x) = R(x) : P(x).

a) Với P(x) = x – 2, R(x) = –x³ + 8 ta có:

Q(x) = (–x³ + 8) : (x – 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Khi đó Q(x) = (–x³ + 8) : (x – 2) = – x² – 2x – 4.

Vậy Q(x) = – x² – 2x – 4.

b) Với P(x) = x² – 3x + 2, R(x) = 10 – 13x + 2x² + x³ ta có:

Q(x) = (10 – 13x + 2x² + x³) : (x² – 3x + 2)

= (x³ + 2x² – 13x + 10) : (x² – 3x + 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Khi đó Q(x) = (x³ + 2x² – 13x + 10) : (x² – 3x + 2) = x + 5.

Vậy Q(x) = x + 5.

Bài 60 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm hệ số a sao cho đa thức G(x) = x⁴ + x² + a chia hết cho đa thức M(x) = x² – x + 1.

Lời giải:

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Do đó G(x) : M(x) = x² + x + 1 (dư a – 1).

Để đa thức G(x) chia hết cho đa thức M(x) thì số dư phải bằng 0.

Tức là a – 1 = 0, hay a = 1.

Vậy a = 1 thì đa thức G(x) = x⁴ + x² + a chia hết cho đa thức M(x) = x² – x + 1.

Bài 61 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 2 và x = –3 là nghiệm của đa thức P(x) = x² – 5x + 6.

b) Đa thức bậc bốn luôn có nhiều hơn bốn nghiệm.

c) Mỗi phần tử của tập hợp {0; 1; –1} là nghiệm của đa thức P(x) = x³ – x.

Lời giải:

a) Xét đa thức P(x) = x² – 5x + 6.

• Tại x = 2 ta có:

P(2) = 2² – 5 . 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0.

Do đó x = 2 là một nghiệm của đa thức P(x).

• Tại x = –3 ta có:

P(–3) = (–3)² – 5 . (–3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30.

Do đó x = –3 không là nghiệm của đa thức P(x).

Vậy phát biểu a) là sai.

b) Đa thức bậc bốn có nhiều nhất là bốn nghiệm. Do đó phát biểu b) là sai.

c) Xét đa thức P(x) = x³ – x.

• Tại x = 0 ta có:

P(0) = 0³ – 0 = 0.

Do đó x = 0 là một nghiệm của đa thức P(x).

• Tại x = 1 ta có:

P(1) = 1³ – 1 = 0.

Do đó x = 1 là một nghiệm của đa thức P(x).

• Tại x = –1 ta có:

P(–1) = (–1)³ – (–1) = –1 + 1 = 0.

Do đó x = –1là một nghiệm của đa thức P(x).

Vậy phát biểu c) là đúng.

Bài 62 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e (a ≠ 0) với a + b + c + d + e = 0. Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của đa thức P(x).

Lời giải:

Xét đa thức P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e (a ≠ 0).

Tại x = 1 ta có:

P(1) = a . 1⁴ + b . 1³ + c . 1² + d . 1 + e

= a + b + c + d + e

= 0 (do a + b + c + d + e = 0).

Do đó x = 1 là nghiệm của đa thức P(x).

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức P(x).

Bài 63 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức Q(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu Q(x) nhận 1 và –1 là nghiệm thì a và c là hai số đối nhau.

Lời giải:

Xét đa thức Q(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

• Tại x = 1 ta có:

Q(1) = a . 1² + b . 1 + c = a + b + c.

Theo bài Q(x) nhận 1 là nghiệm nên Q(1) = 0.

Do đó a + b + c = 0 (1).

• Tại x = –1 ta có:

Q(–1) = a . (–1)² + b . (–1) + c = a – b + c.

Theo bài Q(x) nhận –1 là nghiệm nên Q(–1) = 0.

Do đó a – b + c = 0 (2)

• Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:

(a + b + c) + (a – b + c) = 0

a + b + c + a – b + c = 0

2a + 2c = 0

a + c = 0

a = – c.

Do đó a và c là hai số đối nhau.

Vậy a và c là hai số đối nhau.

Bài 64 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Một cửa hàng bán hoa sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi chậu hoa so với giá bán ban đầu là 3x (nghìn đồng) thì số tiền thu được là 3x² + 53x + 50 (nghìn đồng). Tính số chậu hoa mà cửa hàng đã bán theo x.

Lời giải:

Giá một chậu hoa sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi chậu so với giá bán ban đầu là 3x (nghìn đồng) là: 3x + 50 (nghìn đồng).

Số chậu hoa mà cửa hàng đã bán được là thương của phép chia đa thức:

(3x² + 53x + 50) : (3x + 50).

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Khi đó ta có (3x² + 53x + 50) : (3x + 50) = x + 1.

Vậy số chậu hoa mà cửa hàng đã bán là x + 1 (chậu hoa).

Bài 65 trang 56 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tháng 5 năm 2019, nhiều đại biểu trên cả nước đã “hội quân” trên một tàu kiểm ngư rời cảng biển quốc tế Cam Ranh để bắt đầu hải trình nối tình yêu đất liền với biển đảo Trường Sa. Do thời tiết xấu, tàu kiểm ngư đã giảm 15% tốc độ so với tốc độ đã định. Giả sử tốc độ đã định của tàu kiểm ngư là x hải lí/giờ. Viết biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi với số thời gian:

a) 1 giờ;

b) 4 giờ;

c) y giờ.

Lời giải:

Tốc độ thực tế tàu kiểm như đã đi bằng 100% – 15% = 85% so với tốc độ đã định và bằng 85%.x = 0,85x (hải lí/giờ).

a) Biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi trong 1 giờ là:

0,85x . 1 = 0,85x (hải lí).

b) Biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi trong 4 giờ là:

0,85x . 4 = 3,4x (hải lí).

c) Biểu thức biểu thị số hải lí mà tàu kiểm ngư đã đi trong 1 giờ là:

0,85x . y = 0,85xy (hải lí).

Giải SBT Toán 7 trang 57 Tập 2

Bài 66 trang 57 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Lượng khí thải gây hiệu ứng nhà kính do các hoạt động của con người là nguyên nhân gây ra nhiệt độ Trái Đất tăng một cách đáng kể. Các nhà khoa học đưa ra biểu thức dự báo nhiệt độ trung bình trên bề mặt Trái Đất như sau: T = 0,02x + 15. Trong đó, T là nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất tính theo độ C, x là số năm kể từ năm 1960. Tính nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất vào các năm 1965 và năm 2023 theo biểu thức dự báo trên.

Lời giải:

Nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất vào năm 1965 là:

T = 0,02 . (1 965 – 1 960) + 15 = 15,1 (°C).

Nhiệt độ trung bình của bề mặt Trái Đất vào năm 2023 là:

T = 0,02 . (2 023 – 1 960) + 15 = 16,26 (°C).

Bài 67 trang 57 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Giá bán lẻ 1 hộp sữa là 7 000 đồng, giá cho 1 lốc sữa 4 hộp là 26 000 đồng. Nếu mua từ 4 lốc sữa trở lên thì cứ 2 lốc sữa được tặng 1 hộp. Vậy nếu bác Hoa mua 2a (a ∈ ℕ, 2 ≤ a < 10) lốc sữa thì sẽ tiết kiệm bao nhiêu tiền so với mua lẻ từng hộp?

Lời giải:

Do nếu mua từ 4 lốc sữa trở lên thì cứ mua 2 lốc sữa được tặng 1 hộp nên mua 2a lốc sữa được tặng a hộp.

Số tiền bác Hoa mua 2a lốc sữa là:

26 000 . 2a = 52 000a (đồng).

Tổng số hộp sữa bác Hoa nhận được là:

2a . 4 + a = 8a + a = 9a (hộp).

Số tiền bác Hoa phải trả nếu mua lẻ từng hộp số sữa trên là:

9a . 7 000 = 63 000a (đồng).

Số tiền bác Hoa sẽ tiết kiệm là:

63 000a – 52 000a = 11 000a (đồng).

Vậy bác Hoa sẽ tiết kiệm được 11 000a đồng so với mua lẻ từng hộp.

Bài 68 trang 57 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nhân dịp cuối năm, một cửa hàng cần thanh lí một lô hàng (gồm 100 sản phẩm cùng loại) với giá bán là x đồng/chiếc. Lần đầu cửa hàng giảm 10% so với giá bán thì bán được 15 sản phẩm, lần sau cửa hàng giảm thêm 5% nữa (so với giá đã giảm lần đầu) thì bán được hết 85 sản phẩm còn lại. Viết biểu thức biểu thị số tiền cửa hàng thu được sau khi đã bán hết 100 sản phẩm trên.

Lời giải:

Lần đầu cửa hàng giảm 10% so với giá bán nên giá tiền của mỗi sản phẩm bán ra sau lần giảm giá đầu tiên bằng 100% – 10% = 90% giá bán ban đầu và bằng:

90%x = 0,9x (đồng).

Số tiền cửa hàng thu được sau lần đầu giảm giá là:

0,9x . 15 = 13,5x (đồng).

Lần sau cửa hàng giảm thêm 5% nữa (so với giá đã giảm lần đầu) nên giá tiền của mỗi sản phẩm bán lần ra sau lần giảm giá thứ hai bằng 100% – 5% = 95% giá bán ra sau lần giảm giá đầu tiên và bằng:

95% . 0,9x = 0,95 . 0,9x = 0,855x (đồng).

Số tiền cửa hàng thu được khi bán hết 85 sản phẩm còn lại là:

0,855x . 85 = 72,675x (đồng).

Số tiền cửa hàng thu được sau khi đã bán hết 100 sản phẩm trên là:

13,5x + 72,675x = 86,175x (đồng).

Vậy biểu thức biểu thị số tiền cửa hàng thu được sau khi đã bán hết 100 sản phẩm trên là: 86,175x (đồng).

Bài 69 trang 57 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính diện tích của hình thang ABCD với các số đo cho như Hình 7 theo x.

Lời giải:

Diện tích hình tam giác vuông ABH là: S_ABH = $\frac{1}{2}$.x.7 = $\frac{7}{2}$x (dm²).

Diện tích hình vuông BCKH là: S_BCKH = x² (dm²).

Diện tích tam giác vuông CDK là: S_CDK = $\frac{1}{2}$x.4 = 2x (dm²).

Diện tích hình thang ABCD là:

S_ABCD = S_ABH + S_BCKH + S_CDK

= $\frac{7}{2}$x + x² + 2x

= x² + $\frac{11}{2}$x (dm²).

Vậy diện tích hình thang ABCD là x² + $\frac{11}{2}$x (dm²).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 5 : Phép chia đa thức một biến

SBT Toán 7 : Bài tập cuối chương VI 

SBT Toán 7 Bài 1 : Tổng các góc của một tam giác

SBT Toán 7 Bài 2 : Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

SBT Toán 7 Bài 3 : Hai tam giác bằng nhau

Lý thuyết Toán 7 Chương 6: Biểu thức đại số

1. Biểu thức số

– Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) tạo thành một biểu thức số. Đặc biệt, mỗi số cũng được coi là một biểu thức số.

– Trong biểu thức số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

– Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức số, ta nhận được một số. Số đó được gọi là giá trị của biểu thức số đã cho.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) 2022 không phải là biểu thức số.

b) Biểu thức số phải có đầy đủ các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì một số cũng được coi là một biểu thức số nên 2022 là biểu thức số.

b) Sai. Vì trong biểu thức số không nhất thiết phải có đầy đủ các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa.

Chẳng hạn: 2² + 1 chỉ có phép nâng lên luỹ thừa và phép cộng cũng là một biểu thức số.

Ví dụ: Viết biểu thức số biểu thị:

a) Chu vi hình chữ nhật có chiều dài là 30 cm, chiều rộng là 20 cm.

b) Diện tích của hình tròn có bán kính 40 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm là:

2(30 + 20) (cm).

b) Biểu thức biểu thị diện tích hình tròn có bán kính 40 cm là: p. 40² (cm²).

Ví dụ: Một trường THCS cử một đoàn giáo viên tham gia tập huấn gồm: 1 trưởng đoàn, mỗi khối 6, 7, 8, 9 đều có 2 giáo viên toán, 1 giáo viên văn. Biểu thức số nào dưới đây biểu thị tổng số thành viên của đoàn?

a) 1 + 4. 2 + 1 (thành viên);

b) 1 + 4. (2 + 1) (thành viên).

Hướng dẫn giải

Biểu thức biểu thị số thành viên của mỗi khối là: 2 + 1 (thành viên).

Biểu thức biểu thị số thành viên của 4 khối là: 4. (2 + 1) (thành viên).

Biểu thức biểu thị tổng số thành viên của đoàn là: 1 + 4. (2 + 1) (thành viên).

2. Biểu thức đại số

– Biểu thức gồm các số và các biến số (đại diện cho số) được nối với nhau bởi các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa được gọi là biểu thức đại số.

– Biểu thức số cũng là biểu thức đại số.

– Trong biểu thức đại số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

– Chú ý: Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số ta thường:

+ Không viết dấu nhân giữa các chữ, cũng như giữa số và chữ.

Chẳng hạn: viết xy thay cho x.y; viết 2x thay cho 2.x.

+ Viết x thay cho 1. x; viết –x thay cho (–1). x.

– Trong biểu thức đại số, vì chữ đại diện cho số nên khi thực hiện các phép tính trên các chữ, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép tính như trên các số.

Chẳng hạn:

2x + x = 3x;           5x – 2x = 3x;                             

x.x² = x³;                x + y = y + x;        

xy = yx;                 x(yz) = (xy)z;                            

x + (y + z) = (x + y) + z;           

x(y + z) = xy + xz;

–x(y – z) = –xy + xz; …

Ví dụ: Trong các biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) 2. 3 – 3. 5 là biểu thức đại số;

b) 3x² + 5x + 2 là biểu thức đại số;

c) 2x + 3y + z không phải là biểu thức đại số.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng. Vì 2. 3 – 3. 5 là biểu thức số nên cũng là biểu thức đại số;

b) Đúng. Vì 3x² + 5x + 2 được nối với nhau bởi các phép toán và x đại diện cho số nên biểu thức này là biểu thức đại số.

c) Sai. Vì 2x + 3y + z được nối với nhau bởi các phép toán và x, y, z đại diện cho các số nên biểu thức này là biểu thức đại số.

Ví dụ: Viết biểu thức biểu thị diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt) của hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 4 (cm), x (cm), y (cm) như hình vẽ dưới đây:

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

2(4 + x). y (cm²)

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: 4x (cm²)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

2(4 + x). y + 2.4x (cm²)

Vậy biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật trên là: 2(4 + x). y + 2.4x (cm²).

3. Giá trị của biểu thức đại số

Để  tính  giá  trị  của  một  biểu  thức  đại  số  tại  những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức x² – 5y + 1 khi x = 4 và y = 2.

Hướng dẫn giải

Thay x = 4 và y = 2 vào biểu thức trên ta được:

4² – 5.2 + 1 = 16 – 10 + 1 = 7

Vậy khi x = 4 và y = 2 thì giá trị của biểu thức x² – 5y + 1 bằng 7.

Ví dụ: Bác Hoa mua một túi rau và một số quả cam. Biết rằng mỗi kilôgam cam có giá 40 nghìn đồng và túi rau có giá 15 nghìn đồng.

a) Hãy viết biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoa phải trả nếu số cam bác Hoa mua là x kilôgam.

b) Giả sử số cam bác Hoa mua là 2,5 kilôgam. Sử dụng kết quả câu a, em hãy tính xem bác Hoa phải trả tất cả bao nhiêu tiền.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền bác Hoa phải trả cho x kilôgam cam là 40x (nghìn đồng).

Số tiền bác Hoa phải trả cho một túi rau là 15 nghìn đồng.

Vậy biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoa phải trả là:

40x + 15 (nghìn đồng)

b) Thay x = 2,5 vào biểu thức 40x + 15, ta được:

40. 2,5 + 15 = 115 (nghìn đồng)

Vậy bác Hoa phải trả tất cả là 115 nghìn đồng.

4. Đơn thức một biến. Đa thức một biến

4.1. Đơn thức một biến

– Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến đó.

Chẳng hạn: x², 2x³ là các đơn thức một biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi đơn thức (một biến x) nếu không phải là một số thì có dạng ax^k, trong đó a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Lúc đó, số a được gọi là hệ số của đơn thức ax^k.

+ Để thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính (trên các đơn thức, đa thức, …), một số thực khác 0 được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x + 1 là đơn thức một biến x;

b) 2x² là đơn thức một biến x;

c) 0 không là đơn thức một biến.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì đơn thức một biến chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa của biến đó nên x² + 1 không phải là đơn thức một biến mà là đa thức một biến.

b) Đúng. Vì 2x² là tích của 2 với luỹ thừa 2 của biến x nên 2x² là đơn thức một biến x.

c) Sai. Vì một số cũng là đơn thức nên 0 là đơn thức một biến.

4.2. Đa thức một biến

– Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

Chẳng hạn: 3x² + 2x là đa thức của biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi số được xem là một đa thức (một biến).

+ Số 0 được gọi là đa thức không.

+ Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

+ Thông thường ta kí hiệu đa thức một biến x là P(x), Q(x), A(x), B(x), …

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến x?

a) x² – 9;

b) 2022;

c) 3x + y;

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) x² – 9 là đa thức một biến x vì là hiệu của 2 đơn thức một biến x là x² và 9.

b) 2022 là một số nên cũng được xem là một đa thức một biến.

c) 3x + y không phải là đa thức một biến x vì có cả biến y.

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1 không phải là đa thức một biến x vì $\frac{25}{{\text{x}}^2}$ không phải là tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến x.

5. Cộng trừ đơn thức có cùng số mũ của biến

– Để cộng (trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:

• ax^k + bx^k = (a + b)x^k;

• ax^k – bx^k = (a – b)x^k (k ∈ ℕ*).

Ví dụ: Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) 13x² + 7x²;

b) 4x³ – 3x³;

c) a⁴ + 1,5a⁴ + 0,5a⁴.

Hướng dẫn giải

a) 13x² + 7x² = (13 + 7)x² = 20x²;

b) 4x³ – 3x³ = (4 – 3)x³ = 1.x³ = x³;

c) a⁴ + 1,5a⁴ + 0,5a⁴ = (1 + 1,5 + 0,5)a⁴ = 3a⁴.

6. Sắp xếp đa thức một biến

6.1. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức một biến là làm cho đa thức đó không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến.

Ví dụ: Thu gọn đa thức:

a) P(x) = 3x² – 4x² + x³ + 3x³ – 4x + x + 1;

b) Q(x) = 2 – 3,5x⁴ – 5x² + 3x² + x + $\frac{7}{2}$x⁴ – 2x³ – 1.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = 3x² – 4x² + x³ + 3x³ – 4x + x + 1

= (3 – 4)x² + (1 + 3)x³ + (–4 + 1)x + 1

= –x² + 4x³ – 3x + 1

Vậy dạng thu gọn của đa thức P(x) là –x² + 4x³ – 3x + 1.

b) Q(x) = 2 – 3,5x⁴ – 5x² + 3x² + x + $\frac{7}{2}$x⁴ – 2x³ – 1

= (2 – 1) + (–3,5x⁴ + $\frac{7}{2}$x⁴) + (– 5x² + 3x²) + x – 2x³

= 1 + $\left(-3,5+\frac{7}{2}\right)$x⁴ + (– 5 + 3)x² + x – 2x³

= 1 + 0x⁴ – 2x² + x – 2x³

 = 1 – 2x² + x – 2x³

Vậy dạng thu gọn của đa thức Q(x) là 1 – 2x² + x – 2x³.

6.2. Sắp xếp một đa thức

– Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

– Chú ý: Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Ví dụ: Sắp xếp đa thức A(x) = 3x² + 5x⁴ – x⁵ + 2x – 1 theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

A(x) = 3x² + 5x⁴ – x⁵ + 2x – 1

= –x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 2x – 1.

Vậy sắp xếp đa thức A(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được A(x) = –x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 2x – 1.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = 3x² + 5x³ – 10x + 2x³ – 8x² + 9 + 6x.

Hãy thu gọn sau đó sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

P(x) = 3x² + 5x³ – 10x + 2x³ – 8x² + 9 + 6x

= (5x³ + 2x³) + (3x² – 8x²) + (–10x + 6x) + 9

= 7x³ – 5x² – 4x + 9

Vậy P(x) = = 7x³ – 5x² – 4x + 9.

7. Bậc của đa thức một biến

– Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đa thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

– Chú ý:

+ Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chứa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.

+ Một số khác 0 là đa thức bậc 0.

+ Đa thức không (số 0) không có bậc.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = x² + 2x² + 6x + 2x – 3.

a) Sắp xếp đa thức P(x) theo số mũ giảm dần của biến;

b) Tìm bậc của đa thức P(x);

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

a) P(x) = x² + 2x² + 6x + 2x – 3

= (x² + 2x²) + (6x + 2x) – 3

= (1 + 2)x² + (6 + 2)x – 3

= 3x² + 8x – 3

Vậy P(x) = 3x² + 8x – 3.

b) Bậc của đa thức P(x) là 2 vì số mũ cao nhất của x trong đa thức P(x) là 2.

c) Đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là –3.

8. Nghiệm của đa thức một biến

– Giá trị của đa thức P(x) tại x = a được kí hiệu là P(a).

– Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a) gọi là một nghiệm của đa thức đó.

– Chú ý:

• x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

• Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, … hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 1 là nghiệm của đa thức A(x) = 2x – 2;

b) y = 3 là nghiệm của đa thức B(y) = 4y – 3;

c) z = 1 không là nghiệm của đa thức C(z) = z² + 1.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Vì A(1) = 2.1 – 2 = 0 nên x = 1 là nghiệm của đa thức A(x).

b) Sai. Vì B(3) = 4.3 – 3 = 9 ≠ 0 nên y = 3 không phải là nghiệm của B(y).

c) Đúng. Vì C(1) = 1² + 1 = 2 ≠ 0 nên z = 1 không phải là nghiệm của C(z).

Ví dụ: Cho P(x) = x² – 1. Tìm nghiệm của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

Ta có: P(x) = 0

Suy ra x² – 1 = 0

Do đó x² = 1

Hay x² = 1² = (–1)²

Suy ra x = 1 hoặc x = –1.

Vậy P(x) có nghiệm là x = 1, x = –1.

9. Phép cộng đa thức một biến

– Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;

+ Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

– Chú ý: Khi cộng đa thức theo cột dọc, nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.

Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = x³ – 6x² + 1 và Q(x) = –3x² – 2x – 7. Tính tổng P(x) + Q(x) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta thực hiện đặt phép tính cộng hai đa thức như sau:

$\begin{array}{l}\underset{¯}{+\begin{array}{c}\begin{array}{l}\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+1\\ \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=-3{\text{x}}^2-2\mathrm{x}-7\end{array}\end{array}}\\ \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-9{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-6\end{array}$

Vậy P(x) + Q(x) = x³ – 9x² – 2x – 6.

– Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết tổng hai đã thức theo hàng ngang;

+ Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = x³ – 6x² + 1 và Q(x) = –3x² – 2x – 7. Tính tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang.

Hướng dẫn giải

Ta có:

P(x) + Q(x) = (x³ – 6x² + 1) + (–3x² – 2x – 7)

= x³ – 6x² + 1 – 3x² – 2x – 7

= x³ + (– 6x² – 3x²) – 2x + (1 – 7)

= x³ – 9x² – 2x – 6.

Vậy P(x) + Q(x) = x³ – 9x² – 2x – 6.

10. Trừ hai đa thức một biến

– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức của P(x) ở trên và đơn thức của Q(x) ở dưới;

+ Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

Ví dụ: Cho M(x) = 5x⁴ + 7x³ – 2x và N(x) = –2x³ – 4x² + 6x + 8. Tính hiệu M(x) – N(x) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta thực hiện đặt phép tính trừ hai đa thức như sau:

$\begin{array}{l}\underset{¯}{-\begin{array}{c}\begin{array}{l}\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=5{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^3–2\mathrm{x}\\ \mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=–2{\mathrm{x}}^3–4{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+8\end{array}\end{array}}\\ \mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=5{\mathrm{x}}^4+9{\mathrm{x}}^3+4{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-8\end{array}$

Vậy M(x) – N(x) = 5x⁴ + 9x³ + 4x² – 8x – 8.

– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;

+ Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ: Cho M(x) = 5x⁴ + 7x³ – 2x và N(x) = –2x³ – 4x² + 6x + 8. Tính hiệu M(x) – N(x) theo hàng ngang.

Hướng dẫn giải

Ta có:

M(x) – N(x) = (5x⁴ + 7x³ – 2x) – (–2x³ – 4x² + 6x + 8)

= 5x⁴ + 7x³ – 2x + 2x³ + 4x² – 6x – 8

= 5x⁴ + (7x² + 2x³) + 4x² + (–2x – 6x) – 8

= 5x⁴ + 9x³ + 4x² – 8x – 8

Vậy M(x) – N(x) = 5x⁴ + 9x³ + 4x² – 8x – 8.

Ví dụ: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:

A(x) = –4x⁴ – 3x² + 7 và B(x) = 4x⁴ – 5x² + 8x – 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• A(x) + B(x) = (–4x⁴ – 3x² + 7) + (4x⁴ – 5x² + 8x – 1)

= –4x⁴ – 3x² + 7 + 4x⁴ – 5x² + 8x – 1

= (–4x⁴ + 4x⁴) + (–3x² – 5x²) + 8x + (7 – 1)

= –8x² + 8x + 6

Do đó A(x) + B(x) = – 8x² + 8x + 6.

Vậy bậc của A(x) + B(x) là 2.

• A(x) – B(x) = (–4x⁴ – 3x² + 7) – (4x⁴ – 5x² + 8x – 1)

= –4x⁴ – 3x² + 7 – 4x⁴ + 5x² – 8x + 1

= (–4x⁴ – 4x⁴) + (–3x² + 5x²) – 8x + (7 + 1)

= –8x⁴ + 2x² – 8x + 8

A(x) + B(x) = –8x⁴ + 2x² – 8x + 8.

Vậy bậc của A(x) – B(x) là 4.

11. Nhân đơn thức với đơn thức

– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:

+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;

+ Nhân luỹ thừa của biến A với luỹ thừa của biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

– Tổng quát: Với a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ta có:

ax^m. bxⁿ = a.b. x^m. xⁿ = abx^{m + n}.

Ví dụ: Tính:

a) 3x². 5x⁶;

b) – 4x³. 4x²;

c) 2x^{m + 2}. x^{n – 2} (m, n ∈ ℕ, n > 2).

Hướng dẫn giải

a) 3x². 5x⁶ = 3.5. x². x⁶ = 15x^{2 + 6} = 15x⁸;

b) – 4x³. 4x² = – 4.4. x³. x² = –16x^{3 + 2} = –16x⁵;

c) 2x^{m + 2}. x^{n – 2} = 2. x^{m + 2}. x^{n – 2} = 2x^{m + 2 + n – 2} = 2x^{m + n}.

12. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

A(B + C) = AB + AC

A(B – C) = AB – AC

Ví dụ: Tính:

a) x(2x + 1);

b) –2x²(2x² + 2x – 1);

c) –2x³($\frac{1}{2}$x² + 3x – 5).

Hướng dẫn giải

a) x(2x + 1) = x.2x + x.1 = 2x² + x;

b) –2x²(2x² + 2x – 1)

= –2x².2x² –2x².2x –2x².(–1)

= –4x⁴ – 4x³ + 2x²;

c) –2x³($\frac{1}{2}$x² + 3x – 5)

= –2x³.$\frac{1}{2}$x² –2x³.3x – 2x³.(–5)

= –x⁵ – 6x⁴ + 10x³.

13. Nhân đa thức với đa thức

– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

– Tích của hai đa thức là một đa thức.

– Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x² – 5x + 6).

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x – 3)(2x² – 5x + 6)

= 4x(2x² – 5x + 6) – 3(2x² – 5x + 6)

= 4x.2x² – 4x.5x + 4x.6 – 3.2x² – 3.(–5x) – 3.6

= 8x³ – 20x² + 24x – 6x² + 15x – 18

= 8x³ – 26x² + 39x – 18

Vậy (4x – 3)(2x² – 5x + 6) = 8x³ – 26x² + 39x – 18.

– Chúng ta có thể trình bày phép nhân đa thức theo cột dọc.

Chú ý: Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x² – 5x + 6) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x – 3)(2x² – 5x + 6) = (2x² – 5x + 6).(4x – 3)

Thực hiện phép nhân theo cột dọc như sau:

$\begin{array}{l}\times \underset{¯}{\begin{array}{l}2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6\\ 4\mathrm{x}-3\end{array}}\\ \underset{¯}{\begin{array}{l}-6{\mathrm{x}}^2+15\mathrm{x}-18\\ 8{\mathrm{x}}^3-20{\mathrm{x}}^2+24\mathrm{x}\end{array}}\\ 8{\mathrm{x}}^3-26{\mathrm{x}}^2+39\mathrm{x}-18\end{array}$

Vậy (4x – 3)(2x² – 5x + 6) = 8x³ – 26x² + 39x – 18.

14. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B, ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

+ Chia luỹ thừa của biến trong A cho luỹ thừa của biến đó trong B.

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Tổng quát: Với a ≠ 0; b ≠ 0, m, n ∈ ℕ, m ≥ n ta có:

(ax^m) : (bxⁿ) = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.(x^m : xⁿ) = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.x^{m – n}

Ví dụ: Tính:

a) 14x² : 7x;

b) 3x⁶ : 2x²;

c) –5yⁿ : 10y² (với n ∈ ℕ, n > 2);

d) (–20x^{m + 1}) : (5x^{n + 1}) (với m, n ∈ ℕ, m > n).

Hướng dẫn giải

a) 14x² : 7x = (14 : 7). (x² : x) = 2x^{2 – 1} = 2x;

b) 3x⁶ : 2x² = $\frac{3}{2}.$x^{6 – 2} = $\frac{3}{2}.$x⁴;

c) Với n ∈ ℕ, n > 2 ta có:

–5yⁿ : 10y² = $\frac{-5}{10}$.y^{n – 2} = $-\frac{1}{2}$y^{n – 2}.

d) Với m, n ∈ ℕ, m > n ta có:

(–20x^{m + 1}) : (5x^{n + 1})

= (–20 : 5). (x^{m + 1} : x^{n + 1})

= –4x^{m + 1 – n – 1} = –4x^{m – n}.

15. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.

(A + B) : C = A : C + B : C

(A – B) : C = A : C – B : C

Ví dụ: Tính

a) (20x⁵ – 18x⁴ + 6x² – 4x) : (–2x);

b) (45x⁵ + 10x³ – 5x²) : 5x².

Hướng dẫn giải

a) (20x⁵ – 18x⁴ + 6x² – 4x) : (–2x)

= 20x⁵ : (–2x) – 18x⁴ : (–2x) + 6x² : (–2x) – 4x : (–2x)

= [20 : (–2)](x⁵ : x) – [18 : (–2)](x⁴ : x) + [6 : (–2)](x² : x) – [4 : (–2)](x : x)

= –10x⁴ + 9x³ – 3x + 2.

b) (45x⁵ + 10x³ – 5x²) : 5x²

= 45x⁵ : 5x² + 10x³ : 5x² – 5x² : 5x²

= (45 : 5)(x⁵ : x²) + (10 : 5)(x³ : x²) – (5 : 5)(x² : x²)

= 9x³ + 2x – 1.

16. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

* Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:

– Bước 1.

+ Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

+ Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

+ Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

– Bước 2. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức

có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

* Nhận xét

– Khi chia đa thức A cho đa thức B của cùng một biến (B ≠ 0), có hai khả năng xảy ra:

+ Phép chia có dư bằng 0. Trong trường hợp này ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

+ Phép chia có dư là đa thức R (R ≠ 0) với bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.

– Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B . Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Như vậy, đã thức A chia hết cho đa thức B khi và chỉ khi R = 0.

Ví dụ: Tính:

a) (9x³ + 6x² + 3x – 3) : (3x + 1)

b) (6x² + 4) : (– 2x – 1)

Hướng dẫn giải

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (9x³ + 6x² + 3x – 3) : (3x + 1) = 3x² + x + $\frac{3}{2}$(dư $\frac{-11}{3}$).

b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (6x² + 4) : (–2x – 1) = $-3\text{x}+\frac{3}{2}$ (dư $\frac{11}{2}$).