Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

Giải SBT Toán 7 trang 70 Tập 2

Bài 12 trang 70 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=3\hat{B}=6\hat{C}$ .

a) Tìm số đo góc lớn nhất, góc bé nhất của tam giác ABC.

b) Kẻ AD vuông góc với BC tại D. Chứng minh AD < BD.

Lời giải:

a) Từ $\hat{A}=3\hat{B}=6\hat{C}$ suy ra: $\frac{\hat{A}}{6}=\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{1}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{\hat{A}}{6}=\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{1}=\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}}{6+2+1}=\frac{180°}{9}=20°$.

Suy ra

• $\hat{A}=20°.6=120°;$

• $\hat{B}=20°.2=40°;$

• $\hat{C}=20°.1=20°.$

Vậy trong tam giác ABC, số đo góc lớn nhất là $\hat{A}=120°$ , số đo góc bé nhất là $\hat{C}=20°$ .

b) Xét ∆ABD vuông tại D ta có:

${\hat{A}}_1+\hat{B}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\hat{B}=40°$ (câu a)

Suy ra ${\hat{A}}_1=90°-\hat{B}=90°-40°=50°$ .

Trong ∆ADB có: ${\hat{A}}_1>\hat{B}$ (do 50° > 40°).

Suy ra BD > AD (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AD < BD.

Bài 13 trang 70 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AC lấy điểm D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh BA < BD < BE < BC.

Lời giải:

• Xét tam giác ABD có $\hat{A}$ là góc tù.

Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)

•Vì $\widehat{BDE}$là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D nên $\widehat{BDE}=\hat{A}+\widehat{ABD}$ .

Mà $\hat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BDE}$ là góc tù.

Xét tam giác EBD có $\widehat{BDE}$ là góc tù .

Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)

•Vì $\widehat{BEC}$là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\hat{A}+\widehat{ABE}$

Mà $\hat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét tam giác EBC có $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.

Vậy BA < BD < BE < BC.

Bài 14 trang 70 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

a) Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài cạnh AC, biết độ dài của nó (theo đơn vị xăng-ti-mét) là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4.

b) Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính độ dài cạnh lớn nhất, biết tổng độ dài hai cạnh là 20 cm.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay 15 – 8 < AC < 15 + 8

Suy ra 7 < AC < 23.

Độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4 tức là AC > 4² = 16 và AC là số nguyên tố.

Do đó AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

Vậy AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

b) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác MNP là m, n, p với 0 < m ≤ n ≤ p.

Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}$.

Mặt khác tổng độ dài hai cạnh là 20 cm nên m + n = 20 (cm).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}=\frac{m+n}{2+3}=\frac{20}{5}=4$.

Suy ra p = 4 . 4 = 16 (cm).

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP là 16 cm.

Giải SBT Toán 7 trang 71 Tập 2

Bài 15 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ (D ∈ BC). Chứng minh $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$ .

Lời giải:

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra $\hat{C}<\hat{B}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ .

Xét ∆ABD có: ${\hat{A}}_1+\hat{B}+\widehat{ADB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{ADB}=180°-{\hat{A}}_1-\hat{B}$ (1)

Xét ∆ACD có: ${\hat{A}}_2+\hat{C}+\widehat{ADC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-{\hat{A}}_2-\hat{C}$ (2)

Mà ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (chứng minh trên) và $\hat{B}>\hat{C}$ (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

Vậy $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$.

Bài 16 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=110°$ và $\hat{B}=\hat{C}$ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho $\widehat{ADC}=105°$ . Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:

a) AE < CE;

b) EC < BC < BE.

Lời giải:

•Xét ∆ACB có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\hat{B}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=110°,$ $\hat{B}=\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Suy ra $\hat{B}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$ .

•Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CAE}=180°-\widehat{BAC}=180°-110°=70°$ .

• Do AD // EC (giả thiết) nên $\widehat{ADC}+\widehat{ECD}={180}^o$ (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{ECD}={180}^o-\widehat{ADC}={180}^o-{105}^o={75}^o.$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{ECD}$ (hai góc kề nhau)

Do đó $\widehat{ACE}=\widehat{ECD}-\widehat{ACB}=75°-{35}^o=40°.$

• Trong ∆ACE có: $\widehat{ACE}<\widehat{CAE}$ (do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét ∆EBC có: $\hat{E}+\widehat{BCE}+\hat{B}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BCE}=75°,\hat{B}=35°$

Suy ra $\hat{E}=180°-\hat{B}-\widehat{BCE}=180°-35°-75°=70°$

Trong tam giác BCE có: $\hat{B}<\hat{E}<\widehat{BCE}$ (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.

Bài 17 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Xét ∆ABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆ACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB +AC +BC

Suy ra: $AD<\frac{AB+AC+BC}{2}$

Mà $\frac{AB+AC+BC}{2}$ là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Bài 18 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay $a<\frac{a+b+c}{2}$ (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó $a\ge \frac{a+b+c}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a+b+c}{3}\le a<\frac{a+b+c}{2}$ .

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 1 : Tổng các góc của một tam giác

SBT Toán 7 Bài 2 : Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

SBT Toán 7 Bài 3 : Hai tam giác bằng nhau

SBT Toán 7 Bài 4 : Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh

SBT Toán 7 Bài 5 : Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh

Lý thuyết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

1.1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Góc A được gọi là góc đối diện với cạnh BC;

• Góc B được gọi là góc đối diện với cạnh CA;

• Góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.

– Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì $\widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{C}}.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC = 4 cm, BC = 5 cm. So sánh góc A và góc B.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có BC > AC (5 cm > 4 cm)

Mà $\widehat{\mathrm{A}}$ đối diện với cạnh BC, $\widehat{\mathrm{B}}$ đối diện với cạnh AC.

Nên $\widehat{\mathrm{A}}>\widehat{\mathrm{B}}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Vậy $\widehat{\mathrm{A}}>\widehat{\mathrm{B}}$.

1.2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Cạnh BC được gọi là cạnh đối diện với góc A;

• Cạnh CA được gọi là cạnh đối diện với góc B;

• Cạnh AB được gọi là cạnh đối diện với góc C.

– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu $\widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{C}}$ thì AC > AB.

– Nhận xét:

+ Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

+ Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Ví dụ: So sánh các cạnh của tam giác trong các hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

• Hình a)

Xét tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{C}}>\widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{A}}$ (70° > 60° > 50°)

Nên AB > AC > BC (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy AB > AC > BC.

• Hình b)

Vì DDEG vuông tại D nên cạnh huyển EG là cạnh lớn nhất (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Xét DDEG có $\widehat{\mathrm{G}}>\widehat{\mathrm{E}}$ (60° > 30°)

Nên DE > DG (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy EG > DE > DG.

• Hình c)

Vì DMNP có $\widehat{\mathrm{M}}=120°$ nên là tam giác tù.

Do đó cạnh NP là cạnh lớn nhất (Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất)

Xét DMNP có $\widehat{\mathrm{N}}>\widehat{\mathrm{P}}$ (37° > 23°)

Nên PM > MN (trong một tam góc, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy NP > PM > MN.

2. Bất đẳng thức tam giác

– Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác ABC, ta có: AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.

Các bất đảng thức này gọi là các bất đẳng thức tam giác.

– Nhận xét: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ: Dựa vào bất đẳng thứ tam giác, kiểm tra xem bộ ba độ dài 2 cm, 8 cm, 6 cm và 3 cm, 5 cm, 7 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

+) Xét bộ ba độ dài: 2 cm, 8 cm, 6 cm.

Ta có: 2 + 6 = 8 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba độ dài 2 cm, 8 cm, 6 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

+) Xét bộ ba độ dài: 3 cm, 5 cm, 7 cm

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3+5=8>7\\ 3+7=10>5\\ 5+7=12>3\end{array}\right.$ thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba độ dài 3 cm, 5 cm, 7 cm là độ dài ba cạnh của một tam giác.