Với Giải toán lớp 7 trang 107 Tập 2 Cánh diều tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 7 trang 107 Tập 2 Cánh diều

Bài 1 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AG = $\frac{2}{3}$AM; BG = $\frac{2}{3}$BN; CG = $\frac{2}{3}$CP (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$AM + $\frac{2}{3}$BN + $\frac{2}{3}$CP = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Vậy GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Bài 2 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) $∆$GBC cân tại G.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC (1).

Do BM đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC do đó $AM=MC=\frac{1}{2}AC$  (2)

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên N là trung điểm của AB do đó $AN=NB=\frac{1}{2}AB$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AM = AN.

Xét $∆$ABM và $∆$ACN có:

AM = AN (chứng minh trên).

$\widehat{A}$ là góc chung,

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABM = $∆$ACN (c.g.c)

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra BG = $\frac{2}{3}$BM; CG = $\frac{2}{3}$CN (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà BM = CN (chứng minh câu a)

Do đó BG = CG.

Tam giác GBC có BG = CG nên tam giác GBC cân tại G.

Vậy $∆$GBC cân tại G.

Bài 3 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) $∆$MBG = $∆$MCD;

c) CD = 2GN.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA (tính chất trọng tâm của tam giác).

Điểm D nằm trên tia đối của tia MA và MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Do đó GA = GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $∆$MBG và $∆$MDC có:

MB = MC (giả thiết),

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên),

Do đó $∆$MBG = $∆$MDC (c.g.c).

c) Vì $∆$MBG = $∆$MDC (chứng minh câu b) nên CD = BG (hai cạnh tương ứng).

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Do đó CD = 2GN.

Vậy CD = 2GN.

Bài 4 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) $∆$AHB = $∆$AHM;

b) $AG=\frac{2}{3}AB$.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH $\perp$ BC

Do đó $∆$AHB vuông tại H và $∆$AHM vuông tại H.

Xét $∆$AHB (vuông tại H) và $∆$AHM (vuông tại H) có:

AH là cạnh chung,

HB = HM (H là trung điểm của BM).

Do đó $∆$AHB = $∆$AHM (hai cạnh góc vuông).

Vậy $∆$AHB = $∆$AHM.

b) Vì $∆$AHB = $∆$AHM (chứng minh câu a)

Nên AB = AM (hai cạnh tương ứng).

$∆$ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của $∆$ABC.

Suy ra AG = $\frac{2}{3}$AM (tính chất trọng tâm của tam giác)

Do đó AG = $\frac{2}{3}$AB.

Vậy $AG=\frac{2}{2}AB.$ 

Bài 5 trang 107 Toán 7 Tập 2: Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải:

a) DABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$.

Lại có AH là đường trung tuyến của $∆$ABC nên H là trung điểm của BC.

Do đó BH = CH.

Xét $∆$ABH và $∆$ACH có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (chứng minh trên),

BH = CH (chứng minh trên),

Do đó $∆$ABH = $∆$ACH (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$ 

Nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180°}{2}=90°$ 

Hay AH $\perp$ BC.

Vậy AH $\perp$ BC.

b) Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên OH = $\frac{1}{3}$AH (tính chất trong tâm tam giác)

Mà AH = 1,2 m

Do đó OH = $\frac{1}{3}$. 1,2 = 0,4 m.

Vì mỗi tầng cao 3,3 m mà ngôi nhà ba tầng nên vị trí O ở độ cao so với mặt đất là:

0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 (m)

Vậy vị trí O ở độ cao 10,3 m so với mặt đất.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 7 trang 104 Tập 2

Giải Toán 7 trang 105 Tập 2

Giải Toán 7 trang 106 Tập 2