Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh
A. Câu hỏi trong bài
Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau hay không?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
GT |
ABC, ∆A'B'C' AB = A'B', AC = A'C',
|
KL |
Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? |
Chứng minh (Hình 45):
Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:
AB = A'B' (giả thiết),
AC = A'C' (giả thiết),
(giả thiết)
Suy ra ABC = ∆A'B'C' (c.g.c)
Vậy ABC = ∆A'B'C'.
Hoạt động 1 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 46). Nêu hai cạnh của góc tại đỉnh A.
Lời giải:
Trong tam giác ABC, hai cạnh của góc tại đỉnh A là cạnh AB và cạnh AC.
Lời giải:
Quan sát Hình 47 ta có: Nếu coi độ dài cạnh ô vuông nhỏ là 1 đơn vị thì BC có độ dài bằng 6 cạnh của ô vuông nên bằng 6 đơn vị, B'C' có độ dài bằng 6 cạnh của ô vuông nên bằng 6 đơn vị.
Do đó BC = B'C'.
Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:
AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'
Suy ra ABC = A'B'C' (c.c.c)
Lời giải:
GT |
OM = 2 cm, ON = 3 cm, OP = 2 cm, OQ = 3 cm |
KL |
MQ = NP |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)
Xét tam giác OMQ và tam giác OPN có:
OM = OP (= 2cm)
là góc chung
ON = OQ (= 3cm)
Suy ra OMQ = OPN (c.g.c)
Do đó MQ = NP (hai cạnh tương ứng)
Vậy MQ = NP.
Lời giải:
GT |
Oz là tia phân giác của OM = ON, P ∈ Oz |
KL |
MP = NP |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)
Vì tia Oz là tia phân giác của (giả thiết)
Nên (tính chất tia phân giác của một góc)
Xét tam giác OMP và tam giác ONP có:
OM = ON (giả thiết)
(chứng minh trên)
OP là cạnh chung
Suy ra OMP = ONP (c.g.c)
Do đó MP = NP (hai cạnh tương ứng)
Vậy MP = NP.
B. Bài tập
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E thuộc cạnh AC thoả mãn AE = AB. Chứng minh:
a) ABD = AED;
b)
Lời giải:
GT |
∆ABC, AB < AC Tia AD là tia phân giác của E ∈ AC, AE = AB. |
KL |
a) ABD =AED; b) |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)
a) Vì tia AD là tia phân giác của nên . (tính chất tia phân giác của một góc)
Xét tam giác ABD và tam giác AED có:
AB = AE (giả thiết)
(chứng minh trên)
AD là cạnh chung
Suy ra ∆ABD = ∆AED (c.g.c)
Vậy ∆ABD = ∆AED.
b) Vì ∆ABD = ∆AED (theo câu a)
Nên (hai góc tương ứng)
Xét tam giác DEC có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh E
Nên (tính chất góc ngoài của một tam giác)
Suy ra
Do đó hay
Vậy
Bài 2 trang 86 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông.
Chứng minh:
a) IA = IB;
b) IH là tia phân giác của góc AIB.
Lời giải:
GT |
∆ABC, ∆ABD, AD = BC, IC = ID,
|
KL |
a) IA = IB; b) IH là tia phân giác của góc AIB. |
Chứng minh (Hình 53)
a) Vì (giả thiết) nên tam giác ADI vuông tại D, tam giác BCI vuông tại C, tam giác AHI và BHI vuông tại H.
Xét tam giác ADI (vuông tại D) và tam giác BCI (vuông tại C) có:
AD = BC (giả thiết)
DI = CI (giả thiết)
Suy ra ∆ADI = ∆BCI (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AI = BI (hai cạnh tương ứng)
Vậy AI = BI.
b) Xét tam giác AHI (vuông tại H) và tam giác BHI (vuông tại H) có:
IH là cạnh chung
AI = BI (chứng minh trên)
Suy ra ∆AHI = ∆BHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó (hai góc tương ứng)
Nên tia IH là tia phân giác của góc AIB.
Vậy IH là tia phân giác của góc AIB.
– Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.
– Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.
– Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E.
Khi đó, E là vị trí của cây cầu.
Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì
MA + MB > EA + EB.
Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?
Lời giải:
Vị trí của hai xã và bờ sông Lam được mô tả như hình vẽ.
GT |
Đường thẳng d, A, B nằm cùng một phía với d (H ∈ d), AH = HC BC cắt d tại E, M ∈ d |
KL |
Khẳng định MA + MB > EA + EB là đúng hay sai? Vì sao? |
Chứng minh (Hình dưới đây):
Nối đoạn thẳng CM.
+) Vì (H ∈ d) nên
Do đó tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H).
Xét tam giác AHE (vuông tại H) và tam giác CHE (vuông tại H) ta có:
AH = CH (giả thiết)
HE là cạnh chung
Suy ra ∆AHE = ∆CHE (hai cạnh góc vuông)
Do đó AE = CE (hai cạnh tương ứng)
Nên EA + EB = EC + EB = BC. (1)
+) Chứng minh tương tự với hai tam giác AHM (vuông tại H) và CHM (vuông tại A) có:
AH = CH (giả thiết)
AM là cạnh chung
Suy ra ∆AHM = ∆CHM (hai cạnh góc vuông)
Do đó AM = CM (hai cạnh tương ứng)
Nên MA + MB = MC + MB (2)
+ Xét tam giác BCM có: MC + MB > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: MA + MB > EA + EB.
Vậy MA + MB > EA + EB.
a) AD = MQ;
b) DE = QR.
Lời giải:
GT |
ABC = MNP, D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA, Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM |
KL |
a) AD = MQ; b) DE = QR. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây)
Vì ABC = MNP (giả thiết) nên:
+) AC = MP (hai cạnh tương ứng)
+) BC = NP (hai cạnh tương ứng)
+) (hai góc tương ứng)
Vì D là trung điểm của BC (giả thiết) nên BD = DC = ;
E là trung điểm của AC (giả thiết) nên AE = EC = ;
Q là trung điểm của NP (giả thiết) nên NQ = QP = ;
R là trung điểm của MP (giả thiết) nên MR = RP = .
Do đó ta có BD = DC = NQ = QP và AE = EC = MR = RP.
a) Xét tam giác ADC và tam giác MQP có:
AC = MP (chứng minh trên)
(chứng minh trên)
DC = QP (chứng minh trên)
Suy ra ADC = MQP (c.g.c)
Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng)
Vậy AD = MQ.
b) Xét tam giác CDE và tam giác PQR có:
CD = PQ (chứng minh trên)
(chứng minh trên)
CE = PR (chứng minh trên)
Suy ra CDE = PQR (c.g.c)
Do đó DE = QR (hai cạnh tương ứng)
Vậy DE = QR.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:
Giải SGK Toán 7 Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh
Giải SGK Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh
Giải SGK Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc
Giải SGK Toán 7 Bài 7: Tam giác cân
Giải SGK Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên
Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh
1. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)
– Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Nếu AB = A’B’, , AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.g.c).
Ví dụ: Biết chỉ cần thêm một điều kiện thì hai tam giác trong mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Hãy nêu điều kiện đó tương ứng cho mỗi hình.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (đối đỉnh) và KG = KF.
Để DKGH và DKEF bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện còn thiếu là điều kiện về cạnh sao cho cặp góc bằng nhau là góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.
Mà của DKGH xen giữa hai cạnh KG và KH;
của DKEF xen giữa hai cạnh KE và KF.
Do đó điều kiện còn thiếu là KH = KE.
Vậy điều kiện cần thêm để DKGH = DKFE là KH = KE.
b) Ta có: BC = BD và AB là cạnh chung.
Để DABC và DABD bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện còn thiếu là điều kiện về góc sao cho cặp góc bằng nhau là góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau.
Mà góc xen giữa hai cạnh BC và BA của DABC là
Góc xen giữa hai cạnh BD và BA của DABD là
Do đó điều kiện còn thiếu là
Vậy điều kiện cần thêm để DABC = DABD là
Ví dụ: Cho tam giác ABC (AB < AC) có tia phân giác góc A cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh rằng:
a) DABD = DAED.
b) DA là tia phân giác của
Hướng dẫn giải
Xét DABD và DAED có:
AB = AE (giả thiết),
(do AD là tia phân giác ),
AD là cạnh chung.
Do đó DABD = DAED (c.g.c)
Vậy DABD = DAED (c.g.c).
b) Vì DABD = DAED (chứng minh phần a)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Do đó DA là tia phân giác của
Vậy DA là tia phân giác của
2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về hai cạnh góc vuông của tam giác vuông
– Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Nếu AB = A’B’, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AH ⊥ BC (H ∈ BC) và H là trung điểm của BC. Biết AB = 3 cm. Tính AC.
Hướng dẫn giải
Xét DABH và DACH có:
(giả thiết),
AH là cạnh chung,
BH = CH (giả thiết),
Do đó DABH = DACH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) .
Mà AB = 3 cm nên AC = 3 cm.
Vậy độ dài cạnh AC là 3 cm.
3. Vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:
– Bước 1: Vẽ
– Bước 2: Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3 cm, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 5 cm
– Bước 3: Vẽ đoạn thẳng BC. Ta được tam giác ABC.