Giải SGK Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác

14.8 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 38 Toán lớp 10: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí đứng tới tháp rùa. Em có biết vì sao không?

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Đánh dấu các vị trí, dùng thước thẳng để đo khảng cách và góc.

Lời giải:

Đặt cọc (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

ACsinB=ABsinC

Mà AB=d;C^=180oαβ

AC=sinβdsin(180oαβ)

1. Định lý côsin

HĐ1 trang 38 Toán lớp 10: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Xác định các hướng Đông, tây, nam, bắc. Giả sử tàu xuất phát từ điểm O.

Bước 2: Tính quãng đường đi theo từng hướng sau 1,5 giờ.

Bước 3: Vẽ sơ đồ đường đi

b)

Bước 1: Đo khoảng cách từ điểm xuất phát tới tàu trên sơ đồ

Bước 2: Quy ra khoảng cách thực tế.

c)

Bước 1: Vẽ sơ đồ đường đi.

Bước 2: Tính khoảng cách từ cảng tới tàu dựa vào định lí Pythagore.

Lời giải:

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới.

 Câu hỏi mở đầu trang 38 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ O đến A với quãng đường là: 20.1 =20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến B với quãng đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b)

Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm

Do đó khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c)

Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

 Câu hỏi mở đầu trang 38 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Sau 2 giờ đầu, tàu đi từ O đến A, với quãng đường là 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị trí của tàu là điểm B.

Khi đó ta có thể tính chính xác khoảng cách từ cảng đến tàu, chính là đoạn OB (do tam giác OAB vuông tại A) dựa vào định lí Pythagore: OB=OA2+AB2

HĐ2 trang 38 Toán lớp 10: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b,c và giá trị lượng giác của góc A

a) Tính a2 theo BD2 và CD2

b) Tính a2 theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và cosA.

d) Chứng minh a2=b2+c22bccosA.

 HĐ1 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore với tam giác BCD.

b) Bước 1: Tính BD theo DA và c (định lí Pythagore cho tam giác BDA)

Bước 2: Thay DC bởi DA + b.

Bước 3: Thế BD và DC ở trên vào biểu thức ở ý a)

c)

Bước 1: Tính cosA theo cosα.

Bước 2: Tính DA theo c và cosα

Bước 3: Suy ra công thức tính DA theo c và cosA

d)

Lời giải:

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:

a2=BD2+DC2  (1)

b) Xét tam giác vuông BDA ta có:

{BA2=BD2+DA2BD2=BA2DA2=c2DA2cosα=DAcDA=c.cosα

Lại có: DC = DA + AC = DA + b Thế vào (1)

a2=(c2DA2)+(DA+b)2   (2)

c) Xét tam giác vuông BDA ta có:

cosα=DAcDA=c.cosα

Mà cosα=cosA (do góc α và góc A bù nhau)

DA=c.cosA

d) Thế DA=c.cosA vào (2) ta được:

a2=[c2(c.cosA)2]+(c.cosA+b)2a2=(c2c2.cos2A)+(c2.cos2A2bc.cosA+b2)a2=c2c2.cos2A+c2.cos2A2bc.cosA+b2a2=b2+c22bc.cosA

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi trang 39 Toán lớp 10: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin hay không?

Lời giải:

Theo định lí cosin ta có:

a2=b2+c22bc.cosAb2=a2+c22ac.cosBc2=b2+a22ab.cosC

 HĐ2 trang 38 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà cosA=cos90o=0;cosB=ca;cosC=ba

 {a2=b2+c22bc.0b2=a2+c22ac.cac2=b2+a22ab.ba{a2=b2+c2b2=a2+c22a2c2=b2+a22b2a2=b2+c2

Vậy định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin.

Khám phá trang 39 Toán lớp 10: Từ định lí cosin hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Từ định lí cosin cho tam giác ABC

a2=b2+c22bc.cosAb2=a2+c22ac.cosBc2=b2+a22ab.cosC

Rút ra công thức tính cos A, cos B, cos C.

Lời giải:

Định lí cosin: Trong tam giác ABC

a2=b2+c22bc.cosA(1)b2=a2+c22ac.cosB(2)c2=b2+a22ab.cosC(3)

Ta có (1)2bccosA=b2+c2a2cosA=b2+c2a22bc.

Tương tự từ (2) và (3) ta suy ra cosB=a2+c2b22accosC=b2+a2c22ba

Luyện tập 1 trang 39 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và A^=45o. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cạnh BC (tương ứng là a) theo công thức a2=b2+c22bc.cosA

Bước 2: Tính cos B (theo công thức cosB=a2+c2b22ac) từ đó suy ra góc B.

Bước 3: Tính góc C.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC

a2=b2+c22bc.cosA(1)b2=a2+c22ac.cosB(2)

(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)

Ta được:  BC2=a2=82+522.8.5.cos45o=89402BC5,7

Từ (2) suy ra cosB=a2+c2b22ac;

Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.

cosB2171900B^97oC^38o

Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, B^=97o,C^=38o

Trải nghiệm trang 39 Toán lớp 10: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí cosin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC như hình dưới:

 Luyện tập 1 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta có:

a2=b2+c22bc.cosA

BC2=62+4,322.6.4,3.cos67,61oBC234,835BC5,9

Như vậy kết quả thu được từ định lí xấp xỉ với kết quả đo được.

Nói các khác định lí cosin tại đỉnh A là đúng.

Vận dụng 1 trang 39 Toán lớp 10: Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.

Phương pháp giải:

Trải nghiệm trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khoảng cách giữa tàu và cảng Vân Phong: OB2=OA2+AB22.OA.AB.cosOAB^

Lời giải:

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

 Trải nghiệm trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB =10 (km)

Ngoài ra OAB^=135o (do tàu đi theo hướng đông nam)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta được:

 OB2=OA2+AB22.OA.AB.cosOAB^

OB2=202+1022.20.10.cos135oOB2782,84OB27,98.

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.

2. Định lý sin

HĐ3 trang 39 Toán lớp 10: Trong mỗi hình dưới dây, hãy tính R theo a và sinA.

Luyện tập 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sin M. Từ đó tính R theo a và sinM.

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa sinA và sinM, suy ra công thức tính R theo sinA.

Lời giải:

 Xét tam giác MBC vuông tại C ta có:

sinM=BCBM=a2RR=a2sinM

Lại có: Hình 3.10 a:  A^=M^ (cùng chắn cung nhỏ BC )

sinA=sinMR=a2sinA

Hình 3.10b: A^+M^=180o (cùng tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O,R))

sinA=sinMR=a2sinA

Vậy ở cả hai hình ta đều có: R=a2sinA.

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 40 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và B^=80o. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sinC^, bằng cách áp dụng định lí sin tại đỉnh B và C. Từ đó suy ra số đo góc C.

Bước 2: Tính A^ và suy ra a dựa vào định lí sin.

Bước 3: Tính R.

Lời giải:

HĐ3 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

asinA=bsinB=csinC=2R

sinC=c.sinBb=5.sin80o80,6155C^38o

Lại có: A^=180oB^C^=180o80o38o=62o

Theo định lí sin, ta suy ra a=sinA.bsinB=sin62o8sin80o7,17

Và 2R=bsinBR=b2sinB=82sin80o4,062.

Vậy tam giác ABC có A^=62oC^38oa7,17 và R4,062.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3 trang 40 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c =45, A^=87o

Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác.

Bước 1: Tính a: a2=b2+c22.bc.cosA

Bước 2: Tính sinB, suy ra góc B, góc C.

Lời giải:

Ta cần tính cạnh BC, góc B và góc C.

 Luyện tập 2 trang 40 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta có:

a2=b2+c22bc.cosA

BC2=322+4522.32.45.cos87oBC22898,27BC53,8

Theo định lí sin, ta có:

asinA=bsinBsinB=b.sinAa=32.sin87o53,80,594.

B^36,44o hoặc B^143,56o(Loại vì A^+B^=230,56o>180o)

C^=180oA^B^180o87o36,44o=56,56o

Vậy tam giác ABC có BC53,8B^36,44o và C^=56,56o.

Vận dụng 2 trang 40 Toán lớp 10: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Phương pháp giải:

Bước 1: Cố định vị trí đứng ngắm, xác định góc ngắm .

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm tới từng đỉnh núi..

Bước 3: Áp dụng định lí cosin để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

Lời giải:

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

+) Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

  • Tính AB bằng cách:

+) Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.

+) Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là gócβ

Hình vẽ:

Luyện tập 3 trang 40 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Dễ dàng tính được góc DBA^=180oαβ.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD ta được: ABsinD=DAsinBAB=sinD.DAsinB=sin(180oβ).DAsin(180oαβ).

  • Làm tương tự để tính AC.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ4 trang 41 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.

Vận dụng 2 trang 40 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích tam giác ABC theo diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Diện tích tam giác IBC: SIBC=12r.a.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC là:S=SIAB+SIBC+SIAC

b)

Kí hiệu: D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Vận dụng 2 trang 40 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3) 

Ta có:

SIAB=12.ID.AB=12r.cSIBC=12IE.BC=12r.aSIAC=12IF.AC=12r.b

S=12r.c+12r.a+12r.b=12r.(a+b+c)

Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là S=12r.(a+b+c).

HĐ5 trang 41 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sinA.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.

HĐ4 trang 31 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

a) Biểu thị BD dựa vào sin A (hoặc sin(180oA)) trong tam giác vuông ABD.

b)

+) Tính SABC=12BD.AC

+) Thay BD ở ý a) để suy ra công thức tính S theo b,c và sin A.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABD vuông tại D ta có:

TH1: góc A nhọn

sinA=BDABBD=AB.sinA

TH2: góc A tù

sinA=sin(180oA)=BDABBD=AB.sinA

Vậy BD=AB.sinA

b) Ta có diện tích S của tam giác ABC là: S=12BD.AC

Mà BD=AB.sinA=c.sinA; BC = a. Thế vào (*) ta được:

S=12c.sinA.b hay S=12bc.sinA.

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là S=12bc.sinA.

Luyện tập 4 trang 41 Toán lớp 10: Tính diện tích tam giác ABC có b=2,B^=30o,C^=45o.

Phương pháp giải:

S=12bc.sinA.

Bước 1: Tính c bằng cách áp dụng định lí sin.

Bước 2: Tính góc A^, tính S=12bc.sinA.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

bsinB=csinC

c=sinC.bsinB=sin45o.2sin30o=22

Lại có: A^=180oB^C^=180o30o45o=105o

Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:

S=12bc.sinA=12.2.22.sin105o=1+3.

Vậy diện tích tam giác ABC là 1+3.

Thảo luận trang 41 Toán lớp 10: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Phương pháp giải:

Nhắc lại:

+) công thức tính diện tích tam giác ABC: S=12bc.sinA.

+) cosA=b2+c2a22bc

Bước 1: Tính sin A theo cos A. Lưu ý: sinA>0

Bước 2: Thay sin A vào S=12bc.sinA. Rút gọn biểu thức rồi kết luận.

Lời giải:

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: cosA=b2+c2a22bc

Mà sin2A+cos2A=1

sinA=±1cos2A

Do 0o<A^<180o nên sinA>0 hay sinA=1cos2A

Ta có:

sinA=1(b2+c2a22bc)2=1(b2+c2a2)24b2c2=4b2c2(b2+c2a2)24b2c2=4b2c2(b2+c2a2)22bc

Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:

S=12bc.4b2c2(b2+c2a2)22bc=14.4b2c2(b2+c2a2)2

Chú ý:

Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được

S=14.(2bc+b2+c2a2)(2bcb2c2+a2)=14.[(b+c)2a2][a2(bc)2]=14.(b+ca)(b+c+a)(ab+c)(a+bc)

Đến đây, đặt p=a+b+c2, là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:

{b+c+a=2pb+ca=b+c+a2a=2(pa)ab+c=b+c+a2b=2(pb)a+bc=b+c+a2c=2(pc)

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng 3 trang 42 Toán lớp 10: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.

Thảo luận trang 41 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA bằng công thức Herong:

S=p(pa)(pb)(pc)

Bước 2: Tính diện tích ngũ giác ABCDE, bằng tổng diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA.

Lời giải:

Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441, CB = 575 và DB = 538 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: 441+575+5382=777(m)

Do đó: SCDB=777.(777441).(777575).(777538)112267,7(m2)

Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217, EB = 476 và DB = 538 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: 217+476+5382=615,5(m)

Do đó: SDBE=615,5.(615,5217).(615,5476).(615,5538)51495,13(m2)

Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401, EB = 476 và BA =256 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: 401+476+2562=566,5(m)

Do đó: SABE=566,5.(566,5401).(566,5476).(566,5256)51327,97(m2)

Vậy diện tích S của ngũ giác ABCDE là: S=SCDB+SDBE+SABE112267,7+51495,13+51327,97=215090,8(m2)

Chú ý

+) Để tính diện tích ngũ giác ABCDE thông qua các tam giác nhỏ, ta cần chọn các tam giác thỏa mãn: “phần trong của chúng không đè lên nhau” và “ghép lại vừa khít tạo thành ngũ giác ABCDE”

+) Ưu tiên tính thông qua các tam giác đã biết đủ các cạnh.

Bài tập

Bài 3.5 trang 42 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c =8. Tính cos A, S,r.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A bằng công thức: cosA=b2+c2a22bc

Bước 2: Tính S bằng công thức Herong: S=p(pa)(pb)(pc) với p=a+b+c2

Bước 3: Tính r bằng công thức S=pr.

Lời giải:

Từ định lí cosin ta suy ra cosA=b2+c2a22bc=52+82622.5.8=5380

Tam giác ABC có nửa chu vi là:p=a+b+c2=6+5+82=9,5.

Theo công thức Herong ta có: S=p(pa)(pb)(pc)=9,5.(9,56).(9,55).(9,58)14,98

Lại có: S=prr=Sp=14,989,5=1,577.

Vậy cosA=5380S14,98 và r=1,577.

Bài 3.6 trang 42 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có a=10,A^=45o,B^=70o. Tính R,b,c.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính R và b bằng định lí sin: asinA=bsinB=csinC=2R

Bước 2: Tính C^ và suy ra c bằng định lí sin.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

 asinA=bsinB=csinC=2R

R=a2sinA;b=a.sinBsinA

Mà a=10,A^=45o,B^=70o

R=102sin45o=52;b=a.sin70osin45o13,29

Mặt khác: A^=45o,B^=70oC^=65o

Từ định lí sin ta suy ra: c=a.sinCsinA=10.sin65osin45o12,82.

Vậy R=52;b13,29c12,82.

Bài 3.7 trang 42 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết A^=15o,B^=130o,c=6.

Phương pháp giải:

Tính a, b, C^ và S

Bước 1: Tính C^ rồi suy ra a, b bằng định lí sin: asinA=bsinB=csinC

Bước 2: Tính S=12bc.sinA.

Lời giải:

Ta có: A^=15o,B^=130oC^=35o

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

asinA=bsinB=csinC

b=c.sinBsinC;a=c.sinAsinC

Mà A^=15o,B^=130o,C^=35o,c=6

b=6.sin130osin35o8;a=6.sin15osin35o2,7

Diện tích tam giác ABC là S=12bc.sinA=12.8.6.sin15o6,212.

Vậy a2,7;b8C^=35oS6,212.

Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70oE với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

a,

Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình mô tả đường đi từ cảng A, đến nơi mà động cơ hỏng (kí hiệu là B) và hòn đảo (kí hiệu là C) nơi tàu neo đậu.

 Bài 3.7 trang 42 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Bước 2: Tính góc ABC^, quãng đường tàu đi được sau 90 phút () và quãng đường tàu trôi tự do ().

Bước 3: Tính khoảng cách từ cảng tới nơi tàu neo đậu (đoạn AC) bằng cách áp dụng định lí cosin tại đỉnh B.

Lời giải:

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

  Bài 3.7 trang 42 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là ví trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

 Ban đầu tàu di chuyển theo hướng S70oE nên BAS^=70o. Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam do đó BC song song với AS.

ABC^=180oBAS^=110o

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70.1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8.2 = 16 (km) hay a = 16.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

b2=a2+c22ac.cosB

b2=162+10522.16.105.cos110o12150,632b110,23.

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 110,23 km.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Trên sơ đồ: xác định góc nào là hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Bước 2: Tính sinBAC^ dựa vào định lí sin

Bước 3: Suy ra góc cần tính và kết luận.

Lời giải:

Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là SαoE với αo=CAS^.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

asinA=bsinB=csinCsinA=a.sinBb

Mà B^=110ob110,23; a = 16.

sinA=16.sin110o110,230,136A^7,84o(doA^<90o)

αo70o7,84o=62,16o.

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là S62,16oE.

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50ovà 40o so với phương nằm ngang (H.3.18).

a)  Tính các góc của tam giác ABC.

b)  Tính chiều cao của tòa nhà.

Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a)  Tính các góc của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Nhắc lại: Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180o.

Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Bước 2: Tính góc BAC^, góc ABC^ => góc BCA^.

Lời giải:

Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Ta có: HAB^=50oHAC^=40o

BAC^=50o40o=10o (1)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

H^=90o;BAH^=50o.

HBA^=180o90o50o=40o hay CBA^=40o. (2)

Từ (1) và (2), suy ra: BCA^=180o40o10o=130o.

Vậy ba góc của tam giác ABC lần lượt là: A^=10o;B^=40o;C^=130o.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AB: AB=BC.sinCsinA

Bước 2:  Tính BH => chiều cao của tòa nhà = BH + độ cao của vị trí quan sát.

Lời giải:

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được:

 BCsinA=ACsinB=ABsinC AB=BC.sinCsinA

Mà: BC=5(m);C^=130o;A^=10o

AB=5.sin130osin10o22(m)

Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 3)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

sinBAH^=BHABBH=AB.sinBAH^

Mà: AB22(m);BAH^=50o

BH22.sin50o16,85(m)

Vậy chiều cao của tòa nhà là: BHBC+7=16,855+7=18,85(m)

Bài 3.10 Trang 43 Toán lớp 10: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một các xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Bước 1:

Đánh dấu vị trí quan sát tại điểm A, chiều rộng của hòn đảo kí hiệu là đoạn BC.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

Trên tia đối của tia AH, lấy điểm M, ghi lại khoảng cách AM = a.

 Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 2)

Bước 2:

Tại A, quan sát để xác định các góc BAC^=α,HAC^=β.

Tiếp tục quan sát tại M, xác định góc HMC^=γ.

Bước 3: Giải tam giác AMC, tính AC.

AM = a, AMC^=HMC^=γ và MAC^=180oβ

ACM^=180oγ(180oβ)=βγ

Áp dụng định định lí sin trong tam giác AMC ta có:

ACsinAMC=AMsinACMAC=sinγ.asin(βγ)

Bước 4:

 ABC^=90oHAB^=90o(αβ)  

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

BCsinA=ACsinBBC=sinα.sinγ.asin(βγ)sin(90o(αβ)).

Bài 3.11 trang 43 Toán lớp 10: Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Bài 3.10 Trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC: AC2=BC2+BA22.BC.BA.cosABC

Bước 2: Tính góc ACB, suy ra góc ACD.

Bước 3: Tính AD: AD2=DC2+CA22.DC.CAcosACD

Bước 4: Tính số kilomet giảm đi so với đường cũ.

Lời giải:

Bước 1:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

AC2=62+822.6.8.cos105oAC11,2(km)

Bước 2:

Lại có: Theo định lí sin thì

 ABsinACB=ACsinABCsinACB=8.sin105o11,2ACB^43,6oACD^=135o43,6o=91,4o

Bước 3:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ACD ta có:

  AD2=122+11,222.12.11,2cos91,4oAD16,6(km)

Bước 4:

Độ dài đường mới giảm số kilomet so với đường cũ là: 12+6+816,6=9,4(km)

Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí Côsin 

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Hệ thức lượng trong tam giác (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hệ thức lượng trong tam giác (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB . AC . cos 60o = 22 + 32 – 2.2.3. 12 = 7.

Suy ra BC = 7 (cm)

Vậy BC = 7 cm.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: asinA=bsinB=csinC=2R.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A^=120°B^=30°, c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: A^+B^+C^=180°.

Suy ra C^=180°(A^+B^)=180°(120°+30°)=30°.

Áp dụng Định lí sin, ta có: asinA=bsinB=csinC=2R

asin120°=bsin30°=10sin30°=2R.

Suy ra:

a=10sin30°sin120°=103

b=10sin30°sin30°=10

R=102sin30°=10.

Vậy a = 103; b = 10; R = 10; C^=300.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, C^=60°A^=100°.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: A^+B^+C^=180°.

Suy ra B^=180°(A^+C^)=180°(100°+60°)=20°.

Áp dụng định lí sin, ta có: asinA=bsinB=csinC

asin100°=12sin20°=csin60°

Suy ra:

a=12sin20°sin100°34,6

c=12sin20°sin60°30,4

Vậy tam giác ABC có: A^=100°B^=20°C^=60°; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, BCA^=37o. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hệ thức lượng trong tam giác (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Kết nối tri thức (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

BCsinA=ABsinC

⇒ 5sinA=12sin370

⇒ sin A = 5.sin37o120,2508

⇒ A^ ≈ 14°31’

⇒ B^ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: ACsinB=ABsinC 

⇒ AC = ABsinCsinB = 12sin37°sin128°29' ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = (a+b+c)r2

+) S = 12bc sin A = 12ca sin B =12ab sin C.

+) S = abc4R

+) Công thức Heron: S = p(pa)(pb)(pc).

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và A^=60o.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b =  5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = 12bc sin A = 12.14.35.sin 60° = 12.14.35.32=24532(cm2).

Vậy diện tích tam giác ABC là: 24532 cm2.

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: p=a+b+c2=4+5+32=122=6 (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:

S = p(pa)(pb)(pc)=6.(64).(65).(63)=36=6(cm2).

Mặt khác: S = abc4R ⇒ R = abc4S4.5.34.6=52=2,5(cm).

Ta có: S = pr  ⇒ r = Sp = 66 = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm2, bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Đánh giá

0

0 đánh giá