Câu hỏi mở đầu trang 38 Toán lớp 10: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí đứng tới tháp rùa. Em có biết vì sao không?

Lời giải:

Đặt cọc (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Mà $AB=d;\hat{C}={180}^o-\alpha -\beta$

$\Rightarrow AC=\sin \beta \frac{d}{\sin ({180}^o-\alpha -\beta )}$

1. Định lý côsin

HĐ1 trang 38 Toán lớp 10: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Xác định các hướng Đông, tây, nam, bắc. Giả sử tàu xuất phát từ điểm O.

Bước 2: Tính quãng đường đi theo từng hướng sau 1,5 giờ.

Bước 3: Vẽ sơ đồ đường đi

b)

Bước 1: Đo khoảng cách từ điểm xuất phát tới tàu trên sơ đồ

Bước 2: Quy ra khoảng cách thực tế.

c)

Bước 1: Vẽ sơ đồ đường đi.

Bước 2: Tính khoảng cách từ cảng tới tàu dựa vào định lí Pythagore.

Lời giải:

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới.

Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ O đến A với quãng đường là: 20.1 =20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến B với quãng đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b)

Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm

Do đó khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c)

Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

Sau 2 giờ đầu, tàu đi từ O đến A, với quãng đường là 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị trí của tàu là điểm B.

Khi đó ta có thể tính chính xác khoảng cách từ cảng đến tàu, chính là đoạn OB (do tam giác OAB vuông tại A) dựa vào định lí Pythagore: $OB=\sqrt{O{A}^2+A{B}^2}$

HĐ2 trang 38 Toán lớp 10: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b,c và giá trị lượng giác của góc A

a) Tính $a^2$ theo $B{D}^2$ và $C{D}^2$

b) Tính $a^2$ theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và $\cos A$.

d) Chứng minh $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore với tam giác BCD.

b) Bước 1: Tính BD theo DA và c (định lí Pythagore cho tam giác BDA)

Bước 2: Thay DC bởi DA + b.

Bước 3: Thế BD và DC ở trên vào biểu thức ở ý a)

c)

Bước 1: Tính $\cos A$ theo $\cos \alpha$.

Bước 2: Tính DA theo c và $\cos \alpha$

Bước 3: Suy ra công thức tính DA theo c và $\cos A$

d)

Lời giải:

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:

$a^2=B{D}^2+D{C}^2$  (1)

b) Xét tam giác vuông BDA ta có:

$\{\begin{array}{l}B{A}^2=B{D}^2+D{A}^2\Rightarrow B{D}^2=B{A}^2-D{A}^2=c^2-D{A}^2\\ \cos \alpha =\frac{DA}{c}\Rightarrow DA=c.\cos \alpha \end{array}$

Lại có: DC = DA + AC = DA + b Thế vào (1)

$\Rightarrow a^2=\left(c^2-D{A}^2\right)+{\left(DA+b\right)}^2$   (2)

c) Xét tam giác vuông BDA ta có:

$\cos \alpha =\frac{DA}{c}\Rightarrow DA=c.\cos \alpha$

Mà $\cos \alpha =-\cos A$ (do góc $\alpha$ và góc A bù nhau)

$\Rightarrow DA=-c.\cos A$

d) Thế $DA=-c.\cos A$ vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}{a}^2=\left[c^2-{\left(-c.\cos A\right)}^2\right]+{\left(-c.\cos A+b\right)}^2\\ \iff a^2=\left(c^2-c^2.{\cos }^{2}A\right)+\left(c^2.{\cos }^{2}A-2bc.\cos A+b^2\right)\\ \iff a^2=c^2-c^2.{\cos }^{2}A+c^2.{\cos }^{2}A-2bc.\cos A+b^2\\ \iff a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\end{array}$

Xem thêm lời giải Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1 

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1