Vận dụng 3 trang 42 Toán lớp 10: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA bằng công thức Herong:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

Bước 2: Tính diện tích ngũ giác ABCDE, bằng tổng diện tích các tam giác CBD, DBE, EBA.

Lời giải:

Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441, CB = 575 và DB = 538 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: $\frac{441+575+538}{2}=777(m)$

Do đó: $S_{CDB}=\sqrt{777.\left(777-441\right).\left(777-575\right).\left(777-538\right)}\approx 112267,7\left(m^2\right)$

Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217, EB = 476 và DB = 538 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: $\frac{217+476+538}{2}=615,5(m)$

Do đó: $S_{DBE}=\sqrt{615,5.\left(615,5-217\right).\left(615,5-476\right).\left(615,5-538\right)}\approx 51495,13\left(m^2\right)$

Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401, EB = 476 và BA =256 (đơn vị: m)

Và nửa chu vi là: $\frac{401+476+256}{2}=566,5(m)$

Do đó: $S_{ABE}=\sqrt{566,5.\left(566,5-401\right).\left(566,5-476\right).\left(566,5-256\right)}\approx 51327,97\left(m^2\right)$

Vậy diện tích S của ngũ giác ABCDE là: $S=S_{CDB}+S_{DBE}+S_{ABE}\approx 112267,7+51495,13+51327,97=215090,8\left(m^2\right)$

Chú ý

+) Để tính diện tích ngũ giác ABCDE thông qua các tam giác nhỏ, ta cần chọn các tam giác thỏa mãn: “phần trong của chúng không đè lên nhau” và “ghép lại vừa khít tạo thành ngũ giác ABCDE”

+) Ưu tiên tính thông qua các tam giác đã biết đủ các cạnh.

Bài tập

Bài 3.5 trang 42 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c =8. Tính cos A, S,r.

Lời giải:

Từ định lí cosin ta suy ra $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{53}{80}$

Tam giác ABC có nửa chu vi là:$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+5+8}{2}=9,5.$

Theo công thức Herong ta có: $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{9,5.\left(9,5-6\right).\left(9,5-5\right).\left(9,5-8\right)}\approx 14,98$

Lại có: $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{14,98}{9,5}=1,577.$

Vậy $\cos A=\frac{53}{80}$; $S\approx 14,98$ và $r=1,577.$

Bài 3.6 trang 42 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $a=10,\hat{A}={45}^o,\hat{B}={70}^o$. Tính R,b,c.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

 ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$

$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{a}{2\sin A}};b={\displaystyle \frac{a.\sin B}{\sin A}}$

Mà $a=10,\hat{A}={45}^o,\hat{B}={70}^o$

$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{10}{2\sin {45}^o}}=5\sqrt{2};b={\displaystyle \frac{a.\sin {70}^o}{\sin {45}^o}}\approx 13,29$

Mặt khác: $\hat{A}={45}^o,\hat{B}={70}^o\Rightarrow \hat{C}={65}^o$

Từ định lí sin ta suy ra: $c={\displaystyle \frac{a.\sin C}{\sin A}}={\displaystyle \frac{10.\sin {65}^o}{\sin {45}^o}}\approx 12,82.$

Vậy $R=5\sqrt{2};b\approx 13,29$; $c\approx 12,82.$

Bài 3.7 trang 42 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết $\hat{A}={15}^o,\hat{B}={130}^o,c=6$.

Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng $S{70}^{o}E$ với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.