a) $y=-x^2$

b) $y=\sqrt{2-3x}$

c) $y=\frac{4}{x+1}$

d) $y=\{\begin{array}{l}1\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}x\in \mathbb{Q}\\ 0\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}\end{array}$

Lời giải:

a) Ta thấy hàm số có nghĩa với mọi số thực nên $D=\mathbb{R}$

b) Điều kiện: $2-3x\ge 0\iff x\le \frac{2}{3}$

Vậy tập xác định: $S=\left(-\mathrm{\infty };\frac{2}{3}\right]$

c) Điều kiện: $x+1\ne 0\iff x\ne -1$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

d) Ta thấy hàm số có nghĩa với mọi $x\in \mathbb{Q}$ và $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}$ nên tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

a) Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y (đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản x(g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính y.

b) Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150g, 200g.

Lời giải:

a) Ta thấy với mỗi giá trị của x có đúng 1 giá trị của y tương ứng nên y là hàm số của x.

Công thức tính y:

$y=\{\begin{array}{l}2000\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}x\le 20\\ 6000\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}20<x\le 100\\ 8000\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}100<x\le 250\end{array}$

b) Với x=150 thì y=8000

Với x=200 thì y=8000

a) Điểm nào trong các điểm có tọa độ $\left(-1;-2\right),\left(0;0\right),\left(0;1\right),\left(2021;1\right)$ thuộc đồ thị của hàm số trên?

b) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt bằng $-2;3$ và 10.

c) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng $-18$.

Lời giải: 

a)

+) Thay tọa độ $\left(-1;-2\right)$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$-2=-2.{\left(-1\right)}^2$(Đúng)

=> $\left(-1;-2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^2$.

+) Thay tọa độ $\left(0;0\right)$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$0=-{2.0}^2$(Đúng)

=> $\left(0;0\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^2$.

+) Thay tọa độ $\left(0;1\right)$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$1=-{2.0}^2\iff 1=0$(Vô lí)

=> $\left(0;1\right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^2$.

+) Thay tọa độ $\left(2021;1\right)$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$1=-{2.2021}^2$(Vô lí)

=> $\left(2021;1\right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^2$.

b)

+) Thay $x=-2$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$y=-2.{\left(-2\right)}^2=-8$

+) Thay $x=3$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$y=-{2.3}^2=-18$

+) Thay $x=10$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$y=-2.{\left(10\right)}^2=-200$

c) Thay $y=-18$ vào hàm số $y=-2x^2$ ta được:

$-18=-2x^2\iff x^2=9\iff x=\pm 3$

Phương pháp giải:

a) Nghịch biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$;

b) Nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

Lời giải:

a) Tập xác định $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$.

Lấy $x_1,x_2\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ sao cho $x_1<x_2$.

Xét $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}$

Do $x_1<x_2$ nên $x_2-x_1>0$

$x_1,x_2\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)\Rightarrow x_1{x}_2>0$

$\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\iff f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Lấy $x_1,x_2\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)$ sao cho $x_1<x_2$.

Xét $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1{x}_2}$

Do $x_1<x_2$ nên $x_2-x_1>0$

$x_1,x_2\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\Rightarrow x_1{x}_2>0$(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)

$\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\iff f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy khi x tăng từ -3 đến 0 thì đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên (-3;0).

Khi x tăng từ 0 đến 2 thì đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên (0;2).

Công ty A có giá khởi đầu là 3,75 triệu đồng cộng thêm 5 000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

Công ty B có giá khởi đầu là 2,5 triệu đồng cộng thêm 7 500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Lời giải:

Công ty A: $y_A=3750+5.x$(nghìn đồng)

Công ty B: $y_B=2500+7,5.x$(nghìn đồng)

Với $550\le x\le 600$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(3750+5.x\right)-\left(2500+7,5x\right)\\ =1250-2,5x\end{array}$

$550\le x\le 600$$\iff 2,5.550\le 2,5x\le 2,5.600$

$\begin{array}{l}\iff 1250-1370\ge 1250-2,5x\ge -250\\ \iff -250\le 1250-2,5x\le -120\\ \Rightarrow y_A-y_B<0\end{array}$

Vậy chi phí thuê xe công ty A thấp hơn.

Lý thuyết Hàm số và đồ thị

1. Hàm số

1.1. Định nghĩa

Cho tập hợp khác rỗng D ⊂ ℝ. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập D được gọi là tập xác định của hàm số.

Kí hiệu hàm số: y = f(x), x ∈ D.

Ví dụ:

a) Với hình tròn có bán kính r và đường kính d, ta có d = $\frac{1}{2}$r. Như vậy d là hàm số của r vì mỗi giá trị của r chỉ cho đúng một giá trị của d.

b) Biểu thức y² = x, như vậy ta thấy y không phải là hàm số của x vì khi x = 1 ta có hai giá trị của y là 1 và – 1.

1.2. Cách cho hàm số

a) Hàm số cho bằng một công thức

Hàm số được cho bằng biểu thức, cùng cách nói với hàm số cho bằng công thức.

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Ví dụ:

a) Tìm tập xác định của hàm số y = $\frac{1}{\mathrm{x}-2}$.

Biểu thức $\frac{1}{\mathrm{x}-2}$ có nghĩa khi x – 2$\ne$0 ⇔ x ≠ 2, vì vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $\mathrm{D}\text{ = }\{\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}\mathrm{x}\ne 2\}=\mathrm{ℝ}\text{{2}}$.

b) Tìm tập xác định của hàm số y = $\sqrt{\mathrm{x}-2}$

Biểu thức $\sqrt{\mathrm{x}-2}$ có nghĩa khi x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, vì vậy tập xác định của hàm số đã cho là:$\mathrm{D}=\{\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}\mathrm{x}\ge \text{2}\}=[2;+\infty )$.

b) Hàm số cho bằng nhiều công thức

Một hàm số có thể được cho bằng nhiều công thức.

Ví dụ:

Cho hàm số: f(x) = $\left\{\begin{array}{l}-1\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\\ 0\mathrm{khi}\mathrm{x}=0\\ 1\mathrm{khi}\mathrm{x}>0\end{array}\right.$

a) Tìm tập xác định của hàm số trên?

b) Tính giá trị của hàm số khi x = – 5; x = 0; x = 2022.

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số f(x) có nghĩa khi x < 0; x > 0; x = 0 nên tập xác định của hàm số là: D = ℝ

b) Với x = –5 < 0 thì f(–5) = –1;

Với x = 0 thì f(0) = 0;

Với x = 2022 > 1 thì f(2022) = 1.

Vậy giá trị của hàm số tại x = –5; x = 0; x = 2022 lần lượt là f(–5) = –1; f(0) = 0; f(2022) = 1.

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Khi biến số x thay đổi trong tập D thì tập hợp các giá trị y tương ứng được gọi là tập giá trị của hàm số.

c) Hàm số không cho bằng công thức

Trong thực tiễn, có những tình huống dẫn tới những hàm số không thể cho bằng không thức (hoặc nhiều công thức).

Ví dụ: Biểu đồ lượng mưa tại Hà Nội trong năm 2021 (Đơn vị: mm)

a) Xác định tập hợp các tháng được nêu trong biểu đồ.

b) Tương ứng tháng với lượng mưa trung bình của tháng đó có phải là hàm số không? Giải thích.

Giải:

a) Tập hợp các tháng là: D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

b) Mỗi tháng tương ứng xác định với đúng một giá trị của lượng mưa nên tương ứng đó xác định một hàm số. Hàm số đó có thể được cho bằng bảng như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D là tập hợp tất cả các điểm

M(x; f(x)) trong mặt phẳng toạ độ Oxy với mọi x thuộc D.

Ví dụ: Cho hàm số y = x + 3.

a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm: A(0; 3); B(1;2); C(1; 1). Xác định điểm thuộc và không thuộc đồ thị trên.

Giải:

a) Khi x = 0 thay vào hàm số y = x + 3 ta được y = 3 như vậy đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;3).

Khi y = 0 thay vào hàm số y = x + 3 ta được x = –3 như vậy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (–3; 0). Ta vẽ được đồ thị đi qua hai điểm trên.

Đồ thị hàm số y = x + 3

b) Khi x = 0 thì y = 3; khi x = 1 thì y = 4. Vậy điểm điểm A(0; 3) thuộc đồ thị hàm số, điểm B(1; 2); C(1; 1) không thuộc đồ thị.

Chú ý:

– Điểm M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy thuộc đồ thị hàm số y = f(x), x ∈ D khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\in \mathrm{D}\\ \mathrm{b}=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\end{array}\right.$.

– Để chứng tỏ điểm M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ không thuộc đồ thị hàm số

y = f(x), x ∈ D, ta có thể kiểm tra một trong hai khả năng sau:

Khả năng 1: Chứng tỏ rằng a ∉ D

Khả năng 2: Khi a ∈ D thì chứng tỏ rằng b ≠ f(a).

3. Sự biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):

– Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

$\forall {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\in \left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right),{\mathrm{x}}_1<{\mathrm{x}}_2\Rightarrow \mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_1\right)<\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_2\right)$ 

– Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

$\forall {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2\in \left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right),{\mathrm{x}}_1<{\mathrm{x}}_2\Rightarrow \mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_1\right)>\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_2\right)$

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x²

Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Trên khoảng (–∞; 0) hàm số luôn xác định

Lấy x₁, x₂ ∈ (–∞; 0) thỏa mãn x₁ < x₂.

Vì x₁ < x₂ < 0 nên x₁² > x₂² hay f(x₁) > f(x₂)

Do đó hàm số nghịch biến trên (–∞; 0).

+) Trên khoảng (0; +∞) hàm số luôn xác định

Lấy x₁, x₂ ∈ (0; +∞) thỏa mãn x₁ < x₂.

Vì 0 < x₁ < x₂ nên x₁² < x₂² hay f(x₁) < f(x₂)

Do đó hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên (–∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞).

Bảng biến thiên:

Đây là bảng thiên của hàm số y = x².

– Dấu mũi tên đi lên từ 0 đến +∞ diễn ta hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Đồ thị hàm số:

 – Ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0) khi đồ thị hàm số trên khoảng đó “đi xuống”.

– Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) khi đồ thị hàm số trên khoảng đó “đi lên”.

Bài giảng Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị - Cánh diều