Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Video giải Toán 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai - Cánh diều

Giải Toán 10 trang 44 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 44 Toán lớp 10: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệm tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: $y=-200x^2+92000x-8400000$, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của $y=-200x^2+92000x-8400000$, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai $f(x)=-200x^2+92000x-8400000.$

Làm thế nào để xét dấu của tam thức bậc hai?

Lời giải:

Xét dấu tam thức bậc hai tức là kiểm tra về dấu của tam thức bậc hai theo từng (khoảng) giá trị của ẩn.

Ta có $a=-200<0,b=92000,c=8400000$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(92000:2)}^2-\left(-200\right).8400000=436000000>0$

$\Rightarrow$$f\left(x\right)$ có 2 nghiệm $x=230\pm 10\sqrt{1}09$. Khi đó:

$f\left(x\right)<0$ với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };230-10\sqrt{1}09\right)$ và $\left(230+10\sqrt{1}09;+\mathrm{\infty }\right)$;

$f\left(x\right)>0$ với mọi x thuộc các khoảng $\left(230-10\sqrt{1}09;230+10\sqrt{1}09\right)$

I. Dấu của tam thức bậc hai

Hoạt động 1 trang 44 Toán lớp 10: a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2-2x+2$

b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-5$

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ với dấu của hệ số a trong trường hợp $\mathrm{\Delta }<0$.

Phương pháp giải:

a) $a{x}^2+bx+c>0$ ứng với phần parabol  $y=a{x}^2+bx+c$ nằm phía trên trục hoành.

b) $a{x}^2+bx+c<0$ ứng với phần parabol  $y=a{x}^2+bx+c$ nằm phía dưới trục hoành.

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải:

a) Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên $f\left(x\right)=x^2-2x+2>0$.

b) Ta thấy đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f\left(x\right)=-x^2+4x-5<0$.

c) Ta thấy $f\left(x\right)=x^2-2x+2$ có hệ số a=1>0 và $f\left(x\right)=x^2-2x+2>0$

$f\left(x\right)=-x^2+4x-5$ có hệ số a=-1

Như thế, khi $\mathrm{\Delta }<0$ thì tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ cùng dấu với hệ số a.

Giải Toán 10 trang 45 Tập 1

Hoạt động 2 trang 45 Toán lớp 10: a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+2x+1$

b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-4$

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ với dấu của hệ số a trong trường hợp $\mathrm{\Delta }=0$.

Phương pháp giải:

a) Xét giao điểm của đồ thị và trục hoành. Xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+2x+1$.

b) Xét giao điểm của đồ thị và trục hoành. Xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-4$.

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải:

a) Từ đồ thị ta thấy $x^2+2x+1\ge 0\mathrm{\forall }x$

Và $x^2+2x+1>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

b) Từ đồ thị ta thấy $-x^2+4x-4\le 0\mathrm{\forall }x$

Và $-x^2+4x-4<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$

c) Nếu $\mathrm{\Delta }=0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với dấu của hệ số a, với mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{-b}{2a}\right\}$

Hoạt động 3 trang 45 Toán lớp 10: a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+3x+2$ tùy theo các khoảng của x.

b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-3$ tùy theo các khoảng của x.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ với dấu của hệ số tùy theo các khoảng của x trong trường hợp $\mathrm{\Delta }>0$.

Phương pháp giải:

a) Xét các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right);\left(-2;-1\right);\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

b) Xét các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right);\left(1;3\right);\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải:

a) Ta thấy trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left(x\right)=x^2+3x+2>0$$\mathrm{\forall }x\in \left(-\mathrm{\infty };-2\right)$

Trên $\left(-2;-1\right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left(x\right)=x^2+3x+2<0$$\mathrm{\forall }x\in \left(-2;-1\right)$

Trên $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left(x\right)=x^2+3x+2>0$$\mathrm{\forall }x\in \left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

b)

Trên $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left(x\right)=-x^2+4x-3<0$$\mathrm{\forall }x\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)$

Trên $\left(1;3\right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left(x\right)=-x^2+4x-3>0$$\mathrm{\forall }x\in \left(1;3\right)$

Trên $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left(x\right)=-x^2+4x-3<0$$\mathrm{\forall }x\in \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

c) Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu vưới hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };x_1\right)$ và $\left(x_2;+\mathrm{\infty }\right)$; $f\left(x\right)$ trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng $\left(x_1;x_2\right)$, trong đó  là hai nghiệm của $f\left(x\right)$ và $x_1<x_2$.

II. Ví dụ

Giải Toán 10 trang 46 Tập 1

Luyện tập vận dụng 1 trang 46 Toán lớp 10: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=-2x^2+4x-5$

b) $f\left(x\right)=-x^2+6x-9$

Phương pháp giải:

Sử dụng biệt thức thu gọn ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$ với $b=2b^{\prime }$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số a vời mọi $x\in \mathbb{R}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số a vời mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{b^{\prime }}{a}\right\}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì $f\left(x\right)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Khi đó:

$f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };x_1\right)$ và $\left(x_2;+\mathrm{\infty }\right)$;

$f\left(x\right)$ trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left(x_1;x_2\right)$

Lời giải:

a) Ta có $a=-2<0$, $b=4=>b^{\prime }=2$ và $c=-5$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-\left(-2\right).\left(-5\right)=-6<0$

=>$f\left(x\right)$ cùng dấu âm với hệ số a.

=> $f\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

b) Ta có: $a=-1,b=6,c=-9=>b^{\prime }=3$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-\left(-1\right).\left(-9\right)=0$

$\frac{-b}{2a}=\frac{-b^{\prime }}{a}=3$

=> $f\left(x\right)$ cùng dấu âm với hệ số a với mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$

=> $f\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$

Luyện tập vận dụng 2 trang 46 Toán lớp 10: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$ và hệ số a.

Bước 2: Lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=-4,x_2=2$ và hệ số $a=-1<0$.

Ta có bảng xét dấu $f\left(x\right)$ như sau:

Bài tập

Giải Toán 10 trang 48 Tập 1

Bài 1 trang 48 Toán lớp 10: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) $x^2-2x-3>0$ khi và chỉ khi $x\in \left(-\mathrm{\infty };-1\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

b) $x^2-2x-3<0$ khi và chỉ khi $x\in \left[-1;3\right]$

Lời giải:

a) Phương trình $x^2-2x-3=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1,x_2=3$

Có $a=1>0$ nên $f\left(x\right)=x^2-2x-3>0$ khi và chỉ khi $x\in \left(-\mathrm{\infty };-1\right)\cup \left(3;+\mathrm{\infty }\right)$

=> Phát biểu đúng.

b) Phương trình $x^2-2x-3=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1,x_2=3$

Có $a=1>0$ nên $f\left(x\right)=x^2-2x-3<0$ khi và chỉ khi $x\in \left(-1;3\right)$

=> Phát biểu sai.

Bài 2 trang 48 Toán lớp 10: Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)$ với đồ thị được cho ở mỗi Hình 224a, 24b, 24c.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 3