Chứng minh rằng: (a + b)^2 = (a

Chứng minh rằng: (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab

Đức Long Ngày: 23-09-2022 Lớp 8

281

Với giải bài 23 trang 12 Toán lớp 8 chi tiết trong Bài 3: Những hàng đẳng thức đáng nhớ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Những hàng đẳng thức đáng nhớ

Bài 23 trang 12 sgk Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b;$

${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b .$

Áp dụng:

a) Tính ${(a - b)}^{2}$ , biết $a + b = 7$ và $a . b = 12.$

b) Tính ${(a + b)}^{2}$ , biết $a - b = 20$ và $a . b = 3.$

Phương pháp giải: Áp dụng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu để biến đổi vế trái hoặc vế phải của từng đẳng thức, đưa về bằng vế còn lại.

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

* ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

Cách 1: Biến đổi vế trái:

$\begin{aligned} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ = a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b \\ = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) + 4 a b \\ = {(a - b)}^{2} + 4 a b \end{aligned}$

Vậy ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

Cách 2: Biến đổi vế phải:

$\begin{aligned} {(a - b)}^{2} + 4 a b \\ = a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b \\ = a^{2} + (4 a b - 2 a b) + b^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ = (a + b)^{2} \end{aligned}$

Vậy ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

Cách 3:

$\begin{array}{l} (a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 a b \\ \Leftrightarrow (a + b)^{2} - (a - b)^{2} - 4 a b = 0 \\ \Leftrightarrow [a + b - (a - b)] . [a + b + (a - b)] - 4 a b = 0 \\ \Leftrightarrow 2 b .2 a - 4 a b = 0 \\ \Leftrightarrow 4 a b - 4 a b = 0 \end{array}$

(Luôn đúng)

Vậy ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

* ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

Biến đổi vế phải:

$\begin{aligned} {(a + b)}^{2} - 4 a b \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 a b \\ = a^{2} + (2 a b - 4 a b) + b^{2} \\ = a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2} \end{aligned}$