Trả lời nhanh
Bài tập đơn thức nhiều biến, đa thức nhiều biến Toán 8 xoay quanh 5 kĩ năng: nhận biết đơn thức, đa thức; thu gọn và tìm hệ số, phần biến, bậc; nhận ra đơn thức đồng dạng để cộng trừ; thu gọn đa thức rồi tìm bậc; tính giá trị biểu thức. Bộ 20 bài dưới đây đi từ dễ đến khó, mỗi bài có lời giải chi tiết và dùng được cho cả Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều.
Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. Ví dụ: −5; x; 3x2y; √2·ab.
- Đơn thức thu gọn chỉ gồm một số (hệ số) đứng trước và mỗi biến xuất hiện đúng một lần với số mũ nguyên dương (phần biến).
- Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến. Số khác 0 có bậc 0; số 0 không có bậc.
- Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có hệ số khác 0 và cùng phần biến. Muốn cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số và giữ nguyên phần biến.
- Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức là một hạng tử. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn.
Xem thêm phần lý thuyết đầy đủ tại Lý thuyết Đơn thức Toán 8 và lời giải sách giáo khoa tại Giải SGK Toán 8 Bài 1: Đơn thức.
Dạng 1. Nhận biết và thu gọn đơn thức (Bài 1–5)
Bài 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức? 3x2y; x + y; −5; 2⁄3xy3z; 2⁄x; √2·ab; x2 − 1.
Lời giải: Các đơn thức là 3x2y; −5; 2⁄3xy3z; √2·ab (√2 là một số nên √2·ab vẫn là tích của số và biến). Biểu thức x + y và x2 − 1 chứa phép cộng, trừ; biểu thức 2⁄x có phép chia cho biến nên không phải đơn thức.
Bài 2. Thu gọn rồi chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức: A = 2x2y·(−3xy3); B = (−1⁄2)xy2z·4x3z; C = −xy·(2xy)2.
Lời giải:
- A = [2·(−3)]·(x2·x)·(y·y3) = −6x3y4: hệ số −6, phần biến x3y4, bậc 3 + 4 = 7.
- B = [(−1⁄2)·4]·(x·x3)·y2·(z·z) = −2x4y2z2: hệ số −2, bậc 4 + 2 + 2 = 8.
- C = −xy·4x2y2 = −4x3y3: hệ số −4, bậc 6. Chú ý phải tính (2xy)2 = 4x2y2 trước, nhiều bạn quên bình phương hệ số 2.
Bài 3. Xếp các đơn thức sau thành từng nhóm đồng dạng: 5x2y; −3xy2; 1⁄2x2y; 7xy2; −x2y; 2x2y2.
Lời giải: Nhóm phần biến x2y: 5x2y; 1⁄2x2y; −x2y. Nhóm phần biến xy2: −3xy2; 7xy2. Đơn thức 2x2y2 không đồng dạng với đơn thức nào. Lưu ý x2y và xy2 có cùng bậc 3 nhưng không đồng dạng vì số mũ của từng biến khác nhau.
Bài 4. Tính: a) 3x2y + 5x2y − 7x2y; b) (−2⁄3)xy3 + 1⁄6xy3; c) 2x3y − 5yx3 + x3y.
Lời giải: a) (3 + 5 − 7)x2y = x2y. b) (−4⁄6 + 1⁄6)xy3 = −1⁄2xy3. c) Vì yx3 = x3y nên kết quả là (2 − 5 + 1)x3y = −2x3y.
Bài 5. Tính giá trị của đơn thức M = −3x2y3 tại x = −1, y = 2.
Lời giải: M = −3·(−1)2·23 = −3·1·8 = −24.
Dạng 2. Đa thức: thu gọn, tìm bậc, tính giá trị (Bài 6–10)
Bài 6. Biểu thức nào sau đây là đa thức? x2y − 3xy + 1; x⁄y + 2; 5; 3x3 − √x.
Lời giải: x2y − 3xy + 1 là đa thức (tổng của ba đơn thức); 5 cũng là đa thức vì mỗi đơn thức được coi là một đa thức. x⁄y + 2 có phép chia cho biến, 3x3 − √x có căn của biến nên đều không phải đa thức.
Bài 7. Thu gọn và tìm bậc của P = 3x2y − 2xy2 + 5 − x2y + 4xy2 − 7.
Lời giải: P = (3x2y − x2y) + (−2xy2 + 4xy2) + (5 − 7) = 2x2y + 2xy2 − 2. Hai hạng tử đầu có bậc 3, nên P có bậc 3.
Bài 8. Thu gọn và tìm bậc của Q = x3y − 2x2y2 + 4x3y + x2y2 − xy + 3 − 5x3y.
Lời giải: Các hạng tử x3y có tổng hệ số 1 + 4 − 5 = 0 nên triệt tiêu. Q = −x2y2 − xy + 3, bậc 4. Đây là bẫy quen thuộc: nếu nhìn đa thức ban đầu và kết luận ngay là bậc 4 thì vẫn đúng, nhưng phải thu gọn mới chắc chắn, vì có những đề cố ý cho hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu.
Bài 9. Tính giá trị của A = x2y − 2xy + y2 tại x = 2, y = −1.
Lời giải: A = 22·(−1) − 2·2·(−1) + (−1)2 = −4 + 4 + 1 = 1.
Bài 10. Tính giá trị của B = 2x2y2 − 3xy + 1 tại x = 1⁄2, y = −2.
Lời giải: Nhận xét xy = 1⁄2·(−2) = −1, nên x2y2 = (xy)2 = 1. Do đó B = 2·1 − 3·(−1) + 1 = 6. Mẹo: khi các biến luôn đi theo cặp xy, hãy tính xy trước để giảm phép tính với phân số.
Dạng 3. Cộng, trừ đa thức và bài toán tìm tham số (Bài 11–16)
Bài 11. Cho M = 3x2y − xy + 2y2 và N = −x2y + 4xy − y2 + 5. Tính M + N và M − N.
Lời giải: M + N = (3 − 1)x2y + (−1 + 4)xy + (2 − 1)y2 + 5 = 2x2y + 3xy + y2 + 5. M − N = 3x2y − xy + 2y2 + x2y − 4xy + y2 − 5 = 4x2y − 5xy + 3y2 − 5. Khi trừ, nhớ đổi dấu tất cả các hạng tử của N, kể cả hằng số 5.
Bài 12. Tìm đa thức P biết P + (x2y − 2xy + 3) = 4x2y + xy − 1.
Lời giải: P = (4x2y + xy − 1) − (x2y − 2xy + 3) = 3x2y + 3xy − 4.
Bài 13. Cho P = x4 − 2x2y3 + mx2y3 + 5xy − 1 (m là hằng số). Tìm m để P có bậc 4.
Lời giải: Gộp hai hạng tử đồng dạng: P = x4 + (m − 2)x2y3 + 5xy − 1. Hạng tử x2y3 có bậc 5, nên P có bậc 4 khi và chỉ khi hệ số của nó bằng 0, tức m = 2. Nếu m ≠ 2 thì P có bậc 5.
Bài 14. Tìm a để (a + 1)x3y2 + 4x3y2 = 0 với mọi giá trị của x, y.
Lời giải: Vế trái bằng (a + 5)x3y2. Biểu thức này bằng 0 với mọi x, y khi a + 5 = 0, tức a = −5.
Bài 15. Chứng minh giá trị của R = (3x2y − xy + 2) − (2x2y − xy) − x2y không phụ thuộc vào x, y.
Lời giải: Bỏ ngoặc: R = 3x2y − xy + 2 − 2x2y + xy − x2y = (3 − 2 − 1)x2y + (−1 + 1)xy + 2 = 2. Vậy R luôn bằng 2 với mọi x, y.
Bài 16. Chứng minh T = 3x2y4 + x4 − 2x2y4 + 1 luôn nhận giá trị dương.
Lời giải: Thu gọn: T = x2y4 + x4 + 1. Vì x2y4 = (xy2)2 ≥ 0 và x4 ≥ 0 với mọi x, y nên T ≥ 1 > 0.
Dạng 4. Vận dụng thực tế (Bài 17–20)
Bài 17. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 3x mét và chiều rộng 2y mét (x, y > 0). Viết đơn thức biểu thị diện tích, đa thức biểu thị chu vi của mảnh vườn, rồi tính giá trị khi x = 5, y = 4.
Lời giải: Diện tích S = 3x·2y = 6xy (m2), là đơn thức bậc 2. Chu vi C = 2(3x + 2y) = 6x + 4y (m), là đa thức bậc 1. Với x = 5, y = 4: S = 6·5·4 = 120 m2; C = 30 + 16 = 46 m.
Bài 18. Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có ba kích thước x, 2x và 3y (đơn vị dm). Viết đơn thức biểu thị thể tích hộp, cho biết bậc của đơn thức và tính thể tích khi x = 2, y = 1,5.
Lời giải: V = x·2x·3y = 6x2y (dm3), đơn thức bậc 3. Khi x = 2, y = 1,5: V = 6·4·1,5 = 36 dm3.
Bài 19. Bạn Minh mua x quyển vở, mỗi quyển giá a nghìn đồng và y chiếc bút, mỗi chiếc giá b nghìn đồng. Viết đa thức biểu thị số tiền Minh phải trả và tính giá trị khi x = 5, a = 12, y = 3, b = 6.
Lời giải: Số tiền là ax + by (nghìn đồng), đa thức bốn biến, bậc 2. Thay số: 12·5 + 6·3 = 60 + 18 = 78 nghìn đồng.
Bài 20. Cho P = x2y + xy2 − 3xy và Q = −2x2y + xy2 + xy. Thu gọn P − Q, tìm bậc và tính giá trị của P − Q tại x = 1, y = −1.
Lời giải: P − Q = x2y + xy2 − 3xy + 2x2y − xy2 − xy = 3x2y − 4xy, bậc 3. Tại x = 1, y = −1: 3·1·(−1) − 4·1·(−1) = −3 + 4 = 1.
Lỗi sai thường gặp và mẹo làm bài
- Tính bậc khi chưa thu gọn: luôn gộp các hạng tử đồng dạng trước, rồi mới xét hạng tử có bậc cao nhất (xem Bài 8, Bài 13).
- Nhầm bậc với số mũ lớn nhất: bậc của x2y3 là 5 (tổng số mũ), không phải 3.
- Coi hệ số chứa căn là biến: √2, π là các số, nên √2·ab vẫn là đơn thức có hệ số √2.
- Quên đổi dấu khi trừ đa thức: đặt đa thức bị trừ trong ngoặc, đổi dấu từng hạng tử rồi mới gộp.
- Thay số âm không có ngoặc: viết (−1)2 chứ không viết −12, vì −12 = −1.
Sau khi làm xong bộ bài tập tự luận, các em có thể luyện thêm phần trắc nghiệm Đơn thức Toán 8 có đáp án để rèn tốc độ.
Câu hỏi thường gặp
Số 0 có phải là đơn thức không, bậc của nó bằng bao nhiêu?
Số 0 là một đơn thức và được gọi là đơn thức không. Đơn thức 0 không có bậc; còn mọi số khác 0 là đơn thức bậc 0.
Hai đơn thức x²y và xy² có đồng dạng không?
Không. Hai đơn thức đồng dạng phải có cùng phần biến, tức mỗi biến có cùng số mũ. x²y và xy² cùng bậc 3 nhưng số mũ của x và y khác nhau nên không đồng dạng.
Làm sao tìm bậc của đa thức nhiều biến nhanh và chính xác?
Trước hết thu gọn đa thức bằng cách gộp các hạng tử đồng dạng. Sau đó tính bậc của từng hạng tử (tổng số mũ các biến) và chọn bậc lớn nhất; đó là bậc của đa thức.
Bộ bài tập này dùng cho sách nào?
Nội dung đơn thức nhiều biến, đa thức nhiều biến có ở cả ba bộ sách Toán 8: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều, nên các em học sách nào cũng dùng được.