Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ, tài liệu bao gồm 19 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu gồm có:

I. Lý thuyết

II. Bài tập

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. Lí thuyết:

1. Bình phương của một tổng:

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

2. Bình phương của một hiệu:

\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

3. Hiệu hai bình phương:

 \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

4. Lập phương của một tổng:

\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

5. Lập phương của một hiệu:

\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

6. Tổng hai lập phương:

\({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

7. Hiệu hai lập phương:

\({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

Ngoài ra, ta có cách hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, …

1. Tổng hai bình phương:

 \({A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} - 2AB\)

2. Tổng hai lập phương:

\({A^3} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3} - 3AB\left( {A + B} \right)\)

3. Bình phương của tổ 3 số hạng:

\({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2\left( {AB + BC + CA} \right)\)

4. Lập phương của tổng 3 số hạng:

\({\left( {A + B + C} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + {C^3} + 3\left( {A + B} \right)\left( {B + C} \right)\left( {C + A} \right)\)

B. Các dạng bài tập minh hoạ cơ bản:

Dạng 1: Biến đổi biểu thức

Phương pháp:

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) \({\left( { - 3x + 2y} \right)^2}\)

b) \({\left( { - x - xy} \right)^2}\)

c) \({x^2} - 4{y^2}\)

d) \({\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {2 - y} \right)^2}\)

Giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( { - 3x + 2y} \right)^2} = {\left( { - 3x} \right)^2} + 2\left( { - 3x} \right)\left( {2y} \right) + {\left( {2y} \right)^2}\\ = 9{x^2} - 12xy + 4{y^2}\end{array}\)

b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( { - x - xy} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)\left( {xy} \right) + {\left( {xy} \right)^2}\\ = {x^2} + 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\end{array}\)

c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

\({x^2} - 4{y^2} = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\)

d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {2 - y} \right)^2}\\ = \left( {\left( {x + y} \right) - \left( {2 - y} \right)} \right)\left( {\left( {x + y} \right) + \left( {2 - y} \right)} \right)\end{array}\)

\( = \left( {x + 2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a) \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - \left( { - x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

b) \(2{x^2} - 6{x^2} + 6x - 2\)

c) \({x^3} + 6{x^2} + 12x + 8\)

d) \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}\)

Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

 \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - \left( { - x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

\[\begin{array}{l} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {x^3} - {y^3} = 2{x^3}\end{array}\]

b) Ta có: \(2{x^2} - 6{x^2} + 6x - 2 = 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

\(2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) = 2{\left( {x - 1} \right)^3}\)

c) Ta có: \({x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = {x^3} + 3.2{x^2} + {3.2^2}.x + {2^3}\)

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

 \({x^3} + 3.2.{x^2} + {3.2^2}.x + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3}\)

d) Áp dụng bất đẳng thức ta được: \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}\)

\( = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) - \left( {{x^3} - 3.{x^2}2y + 3.x.{{\left( {2y} \right)}^2} - {{\left( {2y} \right)}^3}} \right)\)

\( = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3}\)

\( = 9{x^2}y - 9x{y^2} + 9{y^3}\)

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) \((a - b + c + d)\left( {a - b - c - d} \right)\)

b) \(\left( {x + 2y + 3z} \right)\left( {x - 2y + 3z} \right)\)

c) \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

d) \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3}\)

e) \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\)

Giải

a) \((a - b + c + d)\left( {a - b - c - d} \right)\)

\(\begin{array}{l} = [\left( {a - b} \right) + \left( {c + d} \right)].[\left( {a - b} \right) - \left( {c + d} \right)]\\ = {\left( {a - b} \right)^2} - {\left( {c + d} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {a^2} - 2ab + {b^2} - {c^2} - 2cd - {d^2}\\ = {a^2} + {b^2} - {c^2} - {d^2} - 2ab - 2cd\end{array}\)

b) \(\left( {x + 2y + 3z} \right)\left( {x - 2y + 3z} \right)\)

=\(\left[ {\left( {x + 3z} \right) + 2y} \right].\left[ {\left( {x + 3z} \right) - 2y} \right]\)

=\({\left( {x + 2z} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} + 6xz + 9{z^2} - 4{y^2}\)

c)

\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\ = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right) = {x^6} - 1\end{array}\)

d) \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3}\)

\( = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) - \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right)\)

\( = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - {x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} + {y^3}\)

\( = 6{x^2}y + 2{y^3} = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right)\)

e) \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) - \left( {3x - 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {{x^2} + 3x + 1 - 3x + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^2}\end{array}\)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:

- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị.

- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.

- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.

Bài 1: Cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức sau: \(A = {x^3} + 3xy + {y^3}\)

Giải

Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:

\(A = {x^3} + {y^3} + 3xy = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)3xy\)

=\(\left( {x + y} \right)\left( {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right) + 3xy\)

Theo bài ra x + y =1, thay vào A ta được:

\(\begin{array}{l}A = \left( {x + y} \right)\left( {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right) + 3xy\\ = 1.\left( {{1^2} - 3xy} \right) + 3xy = 1 - 3xy + 3xy = 1\end{array}\)

Vậy A = 1.

Bài 2: Cho x – y = 4 và xy = 5. Tính \(B = {x^3} - {y^3} + {\left( {x - y} \right)^2}\)

Giải.

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\(\begin{array}{l}B = {x^3} - {y^3} + {\left( {x - y} \right)^2}\\ = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + {\left( {x - y} \right)^2}\end{array}\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy} \right) + {\left( {x - y} \right)^2}\)

Theo bài x – y = 4, xy = 5 thay vào B ta được:

\(\begin{array}{l}B = \left( {x - y} \right)\left( {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy} \right) + {\left( {x - y} \right)^2}\\ = 4\left( {{4^2} + 3.5} \right) + 16 = 140\end{array}\)

Vậy B = 140

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a) \(9{x^2} - 48x + 64 - 5{x^3}\) tại x = 2

b) \({x^3} - 9{x^2} + 27x - 27\) tại x = -4

c) \(\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\) tại x = 6

d) \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{x^3} - 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) tại x = 3

Giải

a) Ta có: \(9{x^2} - 48x + 64 - 5{x^3} = {\left( {3x - 8} \right)^2} - 5{x^3}\)

Thay x = 2 và ta được: \({\left( {3.2 - 8} \right)^2} - {5.2^2} =  - 36\)

b) Ta có: \({x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = {\left( {x - 3} \right)^3}\)

Thay x = -4 vào ta được: \({\left( {x - 3} \right)^3} = {\left( { - 4 - 3} \right)^3} =  - {7^3} = 343\)

c) Ta có: \(\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)

Thay x = 6 vào ta được: \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{6^2} + 6 + 1}}{{6 + 1}} = \frac{{43}}{7}\)

d) Ta có:  \(\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{{x^3} - 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\end{array}\)

Thay x = 3 vào ta được: \(\frac{{3 - 1}}{{{3^2} + 3 + 1}} + \frac{{3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{2}{{13}} + 2 = \frac{{28}}{{13}}\)

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng: \(m - {Q^2}\left( x \right) \le m\) (với m là hằng số) => GTLN của A(x) = m.

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng \({Q^2}\left( x \right) + n \ge n\) (với n là hằng số) => GTNN của A(x) = n.

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) \(A =  - {x^2} - 2x + 5\)

b) \(B = 9x - 3{x^2} + 4\)

Giải

a) Ta có

\(\begin{array}{l}A =  - {x^2} - 2x + 5 =  - {x^2} - 2x - 1 + 6\\ = 6 - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 6\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = -1

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = 9x - 3{x^2} + 4 = 3\left( { - \frac{9}{4} + 2.\frac{3}{2}x - {x^2}} \right) + \frac{{27}}{4} + 4\\ = \frac{{43}}{4} - 3{\left( {\frac{3}{2} - x} \right)^2} \le \frac{{43}}{4}\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \(\frac{{43}}{4}\)khi \(\frac{3}{2} - x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) \(A = 8{x^2} - 8x + 14\)

b) \(B = {x^2} + x + 2\)

Giải

a) Ta có: \(A = 8{x^2} - 8x + 14 = 2\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 12\)

\( = 2{\left( {2x - 1} \right)^2} + 12 \ge 12\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = {x^2} + x + 2\\ = {x^2} + 2.\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2\\ = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là \(\frac{7}{4}\) khi \(x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\).