c) Ta có :

\[C = {\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)^2} + 2.\left( {5x - 2} \right)\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) + {\left( {5x - 2} \right)^2}\]

    \[ = {\left[ {\left( {{x^2} - 5x + 2} \right) + \left( {5x - 2} \right)} \right]^2}\]

    \[ = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}\]

Ví dụ 2: Cho \[x + y =  - 7\] và \[{x^2} + {y^2} = 11\]. Tính \[{x^3} + {y^3}?\]

Giải

Tìm cách giải. Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính được tích xy. Mặt khác phân tích kết luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong. Từ đó ta có lời giải sau.

Trình bày lời giải

Từ

\[\begin{array}{l}x + y =  - 7\\ \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 49\end{array}\]

Mà

\[\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 11 \Rightarrow 11 + 2xy = 49\\ \Rightarrow xy = 12\end{array}\]

Ta có :

 \[\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\\ = {\left( { - 7} \right)^3} - 3.12\left( { - 7} \right)\end{array}\]

\[ \Rightarrow {x^3} + {y^3} =  - 91\]

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức :

\[a)A = {x^2} + 10x + 26\] tại \[x = 95\]

\[b)B = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\] tại \[x = 21\]

Giải

Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta nên vận dụng đưa về hằng đẳng thức. Sau đó thay số vào để tính, bài toán sẽ đơn giản hơn.

Trình bày lời giải

a) Ta có :

\[A = {x^2} + 10x + 26\]

  \[ = {x^2} + 10x + 25 + 1 = {\left( {x + 5} \right)^2} + 1\]

b) Ta có :

\[B = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\]

  \[ = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 2\]

  \[ = {\left( {x - 1} \right)^3} + 2\]

Với \[x = 21\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow B = {\left( {21 - 1} \right)^3} + 2\\ = 8000 + 2 = 8002\end{array}\]

Ví dụ 4: Tính nhanh:

\[a)A = \frac{{{{2020}^3} + 1}}{{{{2020}^2} - 2019}}\]      

\[b)B = \frac{{{{2020}^3} - 1}}{{{{2020}^2} + 2021}}\]

Giải

Tìm cách giải. Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức. Do vậy, việc dùng hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên.

Trình bày lời giải

\[\begin{array}{l}a)A = \frac{{{{2020}^3} + 1}}{{{{2020}^2} - 2019}}\\ = \frac{{\left( {2020 + 1} \right)\left( {{{2020}^2} - 2020 + 1} \right)}}{{{{2020}^2} - 2020 + 1}}\\ = 2021\end{array}\]

\[\begin{array}{l}b)B = \frac{{{{2020}^3} - 1}}{{{{2020}^2} + 2021}}\\ = \frac{{\left( {2020 - 1} \right)\left( {{{2020}^2} + 2020 + 1} \right)}}{{{{2020}^2} + 2020 + 1}}\\ = 2019\end{array}\]

Ví dụ 5: Cho \[x - y = 2\]. Tính giá trị \[A = 2\left( {{x^3} - {y^3}} \right) - 3.{\left( {x + y} \right)^2}\]

Giải

Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:

·     Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện \[x - y\] để thay bằng số 2.

·     Từ giả thiết, suy ra \[x = y + 2\]thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu thức.

Trình bày lời giải

Cách 1. Ta có :

\[A = 2\left( {{x^3} - {y^3}} \right) - 3{\left( {x + y} \right)^2}\]

\[ = 2\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) - 3\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 4xy} \right]\]

\[ = 4\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy + 3xy} \right) - 3{\left( {x - y} \right)^2} - 12xy\]

\[ = 4{\left( {x - y} \right)^2} - 3{\left( {x - y} \right)^2} + 12xy - 12xy = {\left( {x - y} \right)^2} = 4\]

Cách 2. Từ giả thiết, suy ra \[x = y + 2\] thay vào biểu thức A ta có :

\[A = 2\left( {{{\left( {y + 2} \right)}^3} - {y^3}} \right) - 3{\left( {y + 2 + y} \right)^2}\]

\[ = 2\left( {{y^3} + 6{y^2} + 12y + 8 - {y^3}} \right) - 3{\left( {2y + 2} \right)^2}\]

 \[ = 12{y^2} + 24y + 16 - 12{y^2} - 12y - 12 = 4\]

Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn \[{x^2} + 26{y^2} - 10xy + 14x - 76y + 58 = 0\]

Giải

Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hướng biến đổi đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức. Sau đó áp dụng \[{A^2} + {B^2} = 0\] khi và chỉ khi \[A = 0\] và \[B = 0\]. Từ đó tìm được x, y.

Trình bày lời giải

Ta có :

\[{x^2} + 26{y^2} - 10xy + 14x - 76y + 58 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 10xy + 25{y^2} + 14\left( {x - 5y} \right) + 49 + {y^2} - 6y + 9 = 0\]

\( \Leftrightarrow {(x - 5y)^2} - 14(x - 5y) + 49 + {(y - 3)^2} = 0\)\(\)

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 5y - 7} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5y - 7 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 3\end{array} \right.\]

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \[P = {x^2} + xy + {y^2} - 2x - 3y + 2015\]

Giải

Tìm cách giải. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng thức (1) và (2) để biến đổi đa thức thành tổng các bình phương cộng với một số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi và chỉ khi tổng các bình phương bằng 0.

Trình bày lời giải

Ta có :

\[P = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 2x - 3y + 2015\]

\[ = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} - 2\left( {x + \frac{y}{2}} \right) + 1 + \frac{{3{y^2}}}{4} - 2y + 2014\]

\[ = {\left( {x + \frac{y}{2} - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{y^2} - \frac{8}{3}y + \frac{{16}}{9}} \right) + 2012\frac{2}{3}\]

\[\begin{array}{l} = {\left( {x + \frac{y}{2} - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}{\left( {y - \frac{4}{3}} \right)^2} + 2012\frac{2}{3}\\ \ge 2012\frac{2}{3}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = 2012\frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} - 1 = 0\\y - \frac{4}{3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 2012\frac{2}{3}\] khi và chỉ khi \[x = \frac{1}{3};y = \frac{4}{3}\]

Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời \[a + b + c = 6\] và \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\]. Tính giá trị của biểu thức : \[P = {\left( {a - 3} \right)^{2020}} + {\left( {b - 3} \right)^{2020}} + {\left( {c - 3} \right)^{2020}}\]

Giải

Tìm cách giải. Giả thiết cho hai hằng đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trò như nhau. Do vậy chúng ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi \[a = b = c\] và từ giả thiết suy ra \[a = b = c = 2\]. Để tìm ra được kết quả này, chúng ta vận dụng tổng các bình phương bằng 0. Do đó nên bắt đầu từ \[{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\] và  biến đổi tương đương để ra giả thiết. Khi trình bày thì lại bắt đầu từ giả thiết.

Trình bày lời giải

Ta có :

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 12 = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 24 + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = 0\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 4c + 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\]

Dấu bằng xảy ra khi \[a = b = c = 2\]

\[ \Rightarrow P = {\left( { - 1} \right)^{2020}} + {\left( { - 1} \right)^{2020}} + {\left( { - 1} \right)^{2020}} = 3\]

Ví dụ 9: Cho \[{a^2} - {b^2} = 4{c^2}\]. Chứng minh rằng:

\[\left( {5a - 3b - 8c} \right)\left( {5a - 3b + 8c} \right) = {\left( {3a - 5b} \right)^2}\]

Giải

Tìm cách giải . Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không chứa c. Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay \[4{c^2} = {a^2} - {b^2}\] từ giả thiết. Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).

Trình bày lời giải

Biến đổi vế trái :

\[\left( {5a - 3b - 8c} \right)\left( {5a - 3b + 8c} \right)\]

\[ = {\left( {5a - 3b} \right)^2} - 64{c^2} = \left( {25{a^2} - 30ab + 9{b^2}} \right) - 64{c^2}\]

\[ = \left( {25{a^2} - 30ab + 9{b^2}} \right) - 16\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {do{\rm{ }}4{c^2} = {a^2} - {b^2}} \right)\]

\[ = 9{a^2} - 30ab + 25{b^2} = {\left( {3a - 5b} \right)^2}\]

Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.