Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh lớp 8 tài liệu giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ chi tiết được Giáo viên nhiều năm kinh nghiệm biên soạn bám sát nội dung sách bài tập Toán 8 Tập 1 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 8. 

Mời quí bạn đọc tải xuống để xem đầy đủ tài liệu tác phẩm Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

Giải SBT Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (x + 2y)²;

b) (x – 3y)(x + 3y);

c) (5 – x)² .

Lời giải:

a) (x + 2y)² 

= x² + 2.x.2y + (2y)²

= x² + 4xy + 4y²

b) (x – 3y)(x + 3y) = x² – (3y)² = x² – 9y²

c) (5 – x)² = 5² – 2.5.x + x² = 25 – 10x + x².

Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (x – 1)²;

b) (3 – y)²;

c) (x – $\frac{1}{2}$)².

Lời giải:

a) (x – 1)² = x² – 2.x.1 + 1² = x² – 2x + 1

b) (3 – y)² = 3² – 2.3.y + y² = 9 – 6y + y²

c) (x – $\frac{1}{2}$)² = x² – 2.x.$\frac{1}{2}$  + ( $\frac{1}{2}$)² = x² – x + $\frac{1}{4}$.

Bài 13 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a) x² + 6x + 9;

b) x² + x + ;

c) 2xy² + x²y⁴ + 1.

Lời giải:

a) x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)²

b) x² + x + $\frac{1}{4}$ = x² + 2.x.$\frac{1}{2}$ + ( $\frac{1}{2}$)² = (x + $\frac{1}{2}$)²

c) 2xy² + x²y⁴ + 1 = x²y⁴ + 2xy² + 1  = (xy²)² + 2.xy².1 + 1² = (xy² + 1)².

Bài 14 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) (x + y)² + (x – y)²;

b) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²;

c) (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z).

Lời giải:

a) (x + y)² + (x – y)²

= x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

= 2x² + 2y²

b) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

= (x + y)² + 2(x + y).(x – y) + (x – y)²

(Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất với A = x+ y, B = x- y)

= [(x + y) + (x – y)]² = (2x)² = 4x²

c) (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)² + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)²

= [(x – y + z) + (y – z)]² 

=[ x + (y – y) + (z – z)]²

= x²

Bài 15 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a² chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 nên ta có số k thỏa mãn: a = 5k + 4 (k $\in \mathrm{\mathbb{N}}$ )

Ta có: a² = (5k + 4)²

= (5k)² + 2. 5k. 4 + 4²

= 25k² + 40k + 16

= 25k² + 40k + 15 + 1

= 5(5k² + 8k + 3) + 1

Ta có: 5 ⁝ 5 nên 5(5k² + 8k + 3) ⁝ 5 với mọi số tự nhiên k.

Vậy a² = (5k + 4)² chia cho 5 dư 1. (điều phải chứng minh).

Bài 16 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) x² – y² tại x = 87 và y = 13;

b) x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101;

c) x³ + 9x² + 27x + 27 tại x = 97.

Lời giải:

a) Ta có: x² – y² = (x + y)(x – y)

Thay x = 87 và y = 13, ta được:

x² – y² = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

Vậy giá trị biểu thức tại x = 87 và y = 13 là 7400.

b) x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101.

= x³ – 3.x².1 + 3.x.1² – 1³ 

= (x – 1)³

Thay x = 101vào biểu thức (x – 1)³ ta được:

 (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000

Vậy giá trị biểu thức tại x = 101 là 1 000 000.

c) Ta có: x³ + 9x² + 27x + 27

= x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 3³

= (x + 3)³

Thay x = 97 vào biểu thức ( x+ 3)³ ta được:

(x + 3)³ = (97 + 3)³ = 100³ = 1 000 000.

Vậy giá trị biểu thức tại x = 97 là 1 000 000.

Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = 2a³;

b) a³ + b³ = (a + b)[(a – b)² + ab];

c) (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)².

Lời giải:

a) Áp dụng hằng đẳng thức số 6 và số 7, ta có:

VT = (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²)

= a³ + b³ + a³ – b³ 

= (a³ + a³ )+( b³ – b³ )

= 2a³ = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái, ta có:

VT = a³ + b³= (a + b)(a² – ab + b²)

= (a + b)(a² – 2ab + b² + ab)

= (a + b)[(a – b)² + ab] = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a² + b²)(c² + d²)

= a².(c² + d²) + b².(c² + d²)

= a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

= (a²c² + 2abcd + b²d² ) + (a²d² – 2abcd + b²c²)

= (ac + bd)² + (ad – bc)² =VP ( áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất và thứ hai).

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a) x² – 6x + 10 > 0 với mọi x;

b) 4x – x² – 5 < 0 với mọi x.

Lời giải:

a) Ta có: x² – 6x + 10 = x² – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)² + 1

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)² + 1 ≥ 1 > 0 mọi x

Vậy x² – 6x + 10 > 0 với mọi x. (điều phải chứng minh)

b) Ta có: 4x – x² – 5

= – x² + 4x – 4 – 1

= – (x² – 4x + 4) – 1

= – (x² – 2.x.2 + 2²) – 1 

= – (x – 2)² – 1

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên – (x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: – (x – 2)² – 1 ≤ – 1< 0  với mọi x

Vậy 4x – x² – 5 < 0 với mọi x. (điều phải chứng minh).

Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a) P = x² – 2x + 5;

b) Q = 2x² – 6x;

c) M = x² + y² – x + 6y + 10.

Lời giải:

a) Ta có: P = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4

Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 1)² + 4 ≥ 4 với mọi x.

Hay $P\ge 4$ với mọi x.

Suy ra: P = 4 là giá trị nhỏ nhất khi (x – 1)² = 0  x = 1

Vậy P = 4 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 1.

b) Ta có: Q = 2x² – 6x = 2(x² – 3x)

= 2(x² – 2.$\frac{3}{2}$ .x + $\frac{9}{4}-\frac{9}{4}$)

= 2[(x – $\frac{3}{2}$)² –  $\frac{9}{4}$]

= 2(x – $\frac{3}{2}$)² – 2.$\frac{9}{4}$

= 2(x – $\frac{3}{2}$)² – $\frac{9}{4}$.

Vì (x – $\frac{3}{2}$)² ≥ 0 nên 2(x – $\frac{3}{2}$)² ≥ 0 với mọi x

Suy ra:  2(x – $\frac{3}{2}$)² –  $\frac{9}{2}$ ≥ – $\frac{9}{2}$.

Do đó: Q = – $\frac{9}{2}$là giá trị nhỏ nhất khi (x – $\frac{3}{2}$)² = 0 $\Rightarrow$  x = $\frac{3}{2}$.

Vậy Q = – $\frac{9}{2}$  là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = $\frac{3}{2}$.

c) Ta có: M = x² + y² – x + 6y + 10 = (y² + 6y + 9) + (x² – x + 1)

= (y² + 2 .y. 3+ 3²) + (x² – 2. $\frac{1}{2}$.x + $\frac{1}{4}$) + $\frac{3}{4}$

= (y + 3)² + (x – $\frac{1}{2}$ )² + $\frac{3}{4}$

Vì (y + 3)² ≥ 0 và (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0 với mọi x, y.

Nên (y + 3)² + (x –  $\frac{1}{2}$)² ≥ 0

Suy ra M = (y + 3)² + (x – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{4}$≥  $\frac{3}{4}$  với mọi x, y.

Đa thức M đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{4}$ khi:

 $\left\{\begin{array}{c}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0\\ {(y+\text{}3)}^2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y=-3\end{array}\right.$

Vậy đa thức M là giá trị nhỏ nhất là  tại y = – 3 và x = $\frac{1}{2}$.

Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a) A = 4x – x² + 3;

b) B = x – x²;

c) N = 2x – 2x² – 5.

Lời giải:

a) Ta có: A = 4x – x² + 3

= 7 – x² + 4x – 4

= 7 – (x² – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)²

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên – (x – 2)²

Suy ra: A = 7 – (x – 2)² ≤ 7 với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của  đa thức A là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2.

b) Ta có: B = x – x²

= $\frac{1}{4}$ – x² + x – $\frac{1}{4}$

= $\frac{1}{4}$ – (x² – x + $\frac{1}{4}$)

= $\frac{1}{4}$ – (x² – 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$)

= $\frac{1}{4}$ – (x – $\frac{1}{2}$)²

Vì (x – $\frac{1}{2}$)² ≥ 0 với mọi x nên – (x – $\frac{1}{2}$)²  $\le 0$

Suy ra:  B = $\frac{1}{4}$  – (x – $\frac{1}{2}$)² ≤ $\frac{1}{4}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của đa thức B là $\frac{1}{4}$ khi x – $\frac{1}{2}$= 0 hay x = $\frac{1}{2}$.

c) Ta có: N = 2x – 2x² – 5

= – 2(x² – x + $\frac{5}{2}$ )

= – 2(x² – 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$)

= – 2[(x – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{9}{4}$]

= – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – 2.$\frac{9}{4}$ = – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{9}{2}$.

Vì (x – $\frac{1}{2}$ )² ≥ 0 với mọi x nên – 2(x – $\frac{1}{2}$)² ≤ 0

Suy ra: N = – 2(x – $\frac{1}{2}$)² – $\frac{9}{2}$≤ – $\frac{9}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là $\frac{-9}{2}$ khi x – $\frac{1}{2}$  = 0 hay x = $\frac{1}{2}$.

Bài tập bổ sung

Bài 3.1 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho x² + y² = 26 và xy = 5, giá trị của (x – y)² là:

(A). 4;

(B). 16;

(C). 21;

(D). 36.

Hãy chọn kết quả đúng.

Lời giải:

Chọn B

Ta có: (x – y)² = x² – 2xy + y² = (x² + y²) – 2xy = 26 – 2.5 = 26 – 10 = 16

(thay x² + y² = 26 và xy = 5).

Bài 3.2 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích (a² + 2a + 4)(a − 2) là:

(A). (a + 2)³ ;

(B). (a – 2)³ ;

(C). a³ + 8;

(D). a³ – 8.

Hãy chọn kết quả đúng .

Lời giải:

Chọn D.

Ta có: (a² + 2a + 4)(a − 2)

= (a – 2).(a² + 2a + 4)

= (a – 2).(a² + a.2 + 2²)

= a³ – 2³ (hằng đẳng thức)

= a³ – 8

Bài 3.3 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x + 4)²;

b) Q = (x – y)³ + (y + x) ³ + (y – x) ³ – 3xy(x + y).

Lời giải:

a) P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x + 4)²

= 5x – 1 + (2 – 10x).(4 + 5x) + (5x + 4)²

= 5x – 1 + 2.( 4 + 5x) – 10x. (4 + 5x) + (5x)² + 2. 5x. 4 + 4²

= 5x – 1 + 8 + 10x – 40x – 50x² + 25x² + 40x + 16

= (– 50x² + 25x²) + (5x + 10x – 40x + 40x) + (– 1 + 8 + 16)

= – 25x² + 15x + 23

Vậy P = – 25x² + 15x + 23.

b) Q = (x – y)³ + (y + x)³ + (y – x)³ – 3xy(x + y)

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + y³ + 3y².x + 3yx² + x³ + y³ – 3y².x + 3yx² – x³ – 3x²y – 3xy²

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + y³ + 3.xy² + 3x².y + x³ + y³ – 3x.y² + 3x².y – x³ – 3x²y – 3xy²

= (x³ + x³ – x³)+ (– 3x²y + 3x²y + 3x²y – 3x²y) + (3xy² + 3xy² – 3xy² – 3xy²) + (–y³ +  y³ + y³)

= x³ + 0x²y + 0.xy² + y³

= x³ + y³

Vậy Q =  x³ + y³.

Bài 3.4 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

P = 12.(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1).

Lời giải:

Nhân (5² – 1) vào hai vế của biểu thức đã cho ta được:

(5² – 1).P = (5² – 1).12.(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5² – 1).(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12. (5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.$\left({\left(5^2\right)}^2-1^2\right)$(5⁴ – 1)( 5⁴ + 1)( 5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5⁸ – 1)( 5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5¹⁶ – 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5³² – 1).

Do đó, 24P= 12.( 5³² – 1).     (do 5² – 1 = 25 – 1 = 24)

Suy ra: $P=\frac{12.(5^{32}-1)}{24}=\frac{5^{32}-1}{2}$.

Bài 3.5 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức:

(a + b + c)³= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a).

Lời giải:

Biến đổi vế trái:

VT= (a + b + c)³= [(a + b)+ c]³ = (a + b)³ + 3(a + b)² c + 3(a + b)c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc²

= a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) + (3a²c + 3abc) + (3abc + 3b²c) + (3ac² + 3bc²)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3c²(a + b)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c)

= VP ( điều phải chứng minh).