Trả lời nhanh
Hằng đẳng thức số 4 là (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Hằng đẳng thức số 5 là (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3. Số 5 có được từ số 4 bằng cách thay b bởi −b, nên dấu đan xen cộng trừ: số hạng chứa b lẻ thì mang dấu trừ.
Hai hằng đẳng thức cần nhớ
| Số | Tên gọi | Công thức |
|---|---|---|
| 4 | Lập phương của một tổng | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| 5 | Lập phương của một hiệu | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
Phát biểu bằng lời cho hằng đẳng thức số 5: lập phương của một hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất, trừ ba lần tích bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai, trừ lập phương biểu thức thứ hai.
Mẹo nhớ: nhìn cấu trúc 1–3–3–1
Bốn hệ số của khai triển luôn là 1, 3, 3, 1. Số mũ của a giảm dần từ 3 về 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 lên 3, và tổng số mũ ở mỗi số hạng luôn bằng 3. Với hiệu a − b, em chỉ cần nhớ: dấu cộng – trừ xen kẽ, bắt đầu bằng dấu cộng ở a3.
Cách kiểm tra nhanh: thay a = 1, b = 1 vào (a − b)3 được 0; còn vế phải là 1 − 3 + 3 − 1 = 0. Hai vế bằng nhau, vậy dấu đã đúng.
Ví dụ khai triển
- (x − 2)3 = x3 − 3·x2·2 + 3·x·22 − 23 = x3 − 6x2 + 12x − 8.
- (2x − 3y)3 = 8x3 − 36x2y + 54xy2 − 27y3. Ở đây a = 2x, b = 3y nên 3a2b = 3·4x2·3y = 36x2y và 3ab2 = 3·2x·9y2 = 54xy2.
- (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 (áp dụng số 4).
Ứng dụng 1: tính nhanh
Tính 993: viết 99 = 100 − 1, ta có 993 = 1003 − 3·1002·1 + 3·100·12 − 13 = 1 000 000 − 30 000 + 300 − 1 = 970 299.
Tính 1013 bằng số 4: 1 000 000 + 30 000 + 300 + 1 = 1 030 301.
Ứng dụng 2: viết ngược thành lập phương
Nhận ra dạng “ngược” giúp phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ x3 − 9x2 + 27x − 27: số hạng đầu là x3, số hạng cuối là 33, hệ số giữa 9 = 3·3 và 27 = 3·32, dấu xen kẽ. Vậy đa thức bằng (x − 3)3.
Lỗi sai thường gặp
- Viết (a − b)3 = a3 − b3. Đây là lỗi nặng nhất; thực ra a3 − b3 là hằng đẳng thức số 7 và có dạng khác.
- Quên hệ số 3 ở hai số hạng ở giữa, hoặc quên bình phương b trong 3ab2.
- Sai dấu ở số hạng cuối: −b3 chứ không phải +b3.
- Nhầm (a − b)3 với (b − a)3; hai biểu thức này đối nhau: (b − a)3 = −(a − b)3.
Bài tập luyện tập có đáp án
- Khai triển (x − 4)3. Đáp án: x3 − 12x2 + 48x − 64.
- Tính nhanh 1993. Đáp án: (200 − 1)3 = 8 000 000 − 120 000 + 600 − 1 = 7 880 599.
- Rút gọn (x − 1)3 − (x + 1)3. Đáp án: (x3 − 3x2 + 3x − 1) − (x3 + 3x2 + 3x + 1) = −6x2 − 2.
Câu hỏi thường gặp
Hằng đẳng thức số 5 là gì?
Hằng đẳng thức số 5 là lập phương của một hiệu: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, đúng với mọi giá trị của a và b.
Làm sao phân biệt hằng đẳng thức số 5 với số 7?
Số 5 là (a − b)³ có bốn số hạng, còn số 7 là a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) có hai số hạng ở vế trái. Hai công thức khác nhau hoàn toàn.
Có cách nào nhớ dấu của hằng đẳng thức số 5 không?
Dấu xen kẽ cộng trừ, bắt đầu bằng dấu cộng ở a³. Nếu thay a = b thì vế trái bằng 0, tổng 1 − 3 + 3 − 1 cũng bằng 0 nên em tự kiểm tra được.
Hằng đẳng thức này dùng để làm gì?
Dùng để khai triển nhanh, tính nhanh số lớn như 99³, rút gọn biểu thức và phân tích đa thức thành nhân tử.