Hằng đẳng thức số 6 và số 7: công thức, ví dụ, bài tập

Trả lời nhanh

Hằng đẳng thức số 6 (tổng hai lập phương): a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Hằng đẳng thức số 7 (hiệu hai lập phương): a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Nhân tử thứ hai gọi là bình phương thiếu của hiệu (hoặc tổng), có hệ số của ab là 1 chứ không phải 2. Hai công thức này dùng để phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức.

Công thức hai hằng đẳng thức

Số thứ tự	Tên gọi	Công thức
6	Tổng hai lập phương	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
7	Hiệu hai lập phương	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Trong đó a, b có thể là số, biến hoặc cả biểu thức. Nếu em chưa nhớ ba hằng đẳng thức đầu, hãy xem lại hằng đẳng thức số 1, 2, 3 và hằng đẳng thức số 4, 5 trước khi học tiếp.

Chứng minh bằng cách nhân đa thức

Ta nhân vế phải của hằng đẳng thức số 6:

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³.

Các hạng tử a²b và ab² triệt tiêu nhau nên chỉ còn a³ + b³. Hằng đẳng thức số 7 được chứng minh tương tự, hoặc thay b bằng −b vào công thức số 6.

Mẹo nhớ dấu

Nhân tử thứ nhất giữ nguyên dấu của vế trái: a³ + b³ thì (a + b); a³ − b³ thì (a − b).
Nhân tử thứ hai luôn có a² và b² cùng dấu +, còn dấu của ab thì ngược với nhân tử thứ nhất: (a + b) đi với −ab, (a − b) đi với +ab.
Vì vậy nhân tử thứ hai của số 6 là a² − ab + b², và của số 7 là a² + ab + b².

Phân biệt với lập phương của một tổng, một hiệu

Rất nhiều bạn nhầm giữa a³ + b³ và (a + b)³. Hai biểu thức này khác nhau: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ có thêm hai hạng tử ở giữa. Mối liên hệ giữa chúng là:

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) và a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b).

Hai công thức này giúp tính nhanh khi đề cho tổng a + b hoặc hiệu a − b cùng tích ab.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Phân tích 8x³ + 27 thành nhân tử.

Giải: 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9). Chú ý hạng tử giữa là 2x · 3 = 6x, mang dấu trừ.

Ví dụ 2. Phân tích x³ − 64 thành nhân tử.

Giải: x³ − 64 = x³ − 4³ = (x − 4)(x² + 4x + 16).

Ví dụ 3. Rút gọn A = (x + 2)(x² − 2x + 4) − x³.

Giải: (x + 2)(x² − 2x + 4) = x³ + 8, nên A = x³ + 8 − x³ = 8.

Ví dụ 4. Cho a + b = 5 và ab = 6. Tính a³ + b³.

Giải: a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 3 · 6 · 5 = 125 − 90 = 35. Kiểm tra bằng a = 2, b = 3: 8 + 27 = 35.

Ví dụ 5. Tính nhanh 7³ + 3³.

Giải: 7³ + 3³ = (7 + 3)(49 − 21 + 9) = 10 · 37 = 370.

Lỗi sai thường gặp

Viết nhân tử thứ hai là a² − 2ab + b² (nhầm với bình phương của một hiệu). Hệ số của ab ở đây chỉ là 1.
Viết sai dấu của ab, ví dụ (a + b)(a² + ab + b²).
Cố phân tích tiếp nhân tử bậc hai a² ± ab + b². Trong chương trình lớp 8, nhân tử này không phân tích thêm được nên em dừng lại ở đó.
Không đưa hệ số về dạng lập phương, như 8x³ phải viết thành (2x)³ trước khi áp dụng.

Bài tập tự luyện

Phân tích thành nhân tử: 27y³ − 1.
Rút gọn: (x − 1)(x² + x + 1) + (x + 1)(x² − x + 1).
Cho a − b = 2 và ab = 15. Tính a³ − b³.

Đáp án:

27y³ − 1 = (3y)³ − 1³ = (3y − 1)(9y² + 3y + 1).
Biểu thức bằng (x³ − 1) + (x³ + 1) = 2x³.
a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) = 8 + 3 · 15 · 2 = 98. Kiểm tra bằng a = 5, b = 3: 125 − 27 = 98.

Học tiếp ở đâu?

Em có thể xem thêm phần lý thuyết Toán 8 về hằng đẳng thức đáng nhớ, cách giải trong tài liệu cách giải các hằng đẳng thức và luyện thêm với 50 bài tập hằng đẳng thức có đáp án.

Câu hỏi thường gặp

Hằng đẳng thức số 6 là gì?

Là tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

Hằng đẳng thức số 7 là gì?

Là hiệu hai lập phương: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

a³ + b³ có bằng (a + b)³ không?

Không. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, còn a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b).

Hằng đẳng thức số 6 và 7 dùng để làm gì?

Dùng để phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức và tính nhanh giá trị có chứa lập phương.