Bài 4.28 trang 84 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}} \mathrm{hay} \widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{ACD}}$

Do AD là đường cao của tam giác ABC hay AD ⊥ BC tại D nên tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét hai tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{ACD}}$ (chứng minh trên).

Do đó $∆\mathrm{ABD}=∆\mathrm{ACD}$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Khi đó BD = CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Do AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AC và AB (H ∈ AC; K ∈ AB). Chứng minh rằng BH = CK.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BHA (vuông tại H) và tam giác CKA (vuông tại K) có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\hat{A}$ là góc chung

⇒ $\Delta BHA=\Delta CKA$ (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Vậy BH = CK (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AI vuông góc với BC và AI là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

BI = CI (theo giả thiết)

AI là cạnh chung

⇒ $\Delta AIB=\Delta AIC$ (c.c.c)

⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180°$

⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$

⇒ AI ⊥ BC (đpcm)

Vì $\Delta AIB=\Delta AIC$ (chứng minh trên)

⇒ $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ (hai góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

$\Delta ABC$ cân tại A ⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

Mà: $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180°$ (hai góc kề bù)

$\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên)

BD = CE (theo giả thiết)

⇒ $\Delta ADB=\Delta AEC$ (c.g.c)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ $\Delta ADE$ cân tại A (đpcm).