– Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo bài ra, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo bài ra, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 2: 

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (giả thiết)

 chung

AD = AE (giả thiết)

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh - góc - cạnh)

⇒  (cặp góc tương ứng)

b) ΔIBC có:

⇒ ΔIBC cân tại I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Gợi ý đáp án:

Do tam giác ABC cân tại A nên: (tính chất tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

BC chung

(cạnh huyền – góc nhọn)

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Gợi ý đáp án:

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB=MC (gt)

(2 góc tương ứng)

 là phân giác của góc BAC

Mặt khác:(2 góc tương ứng) mà (2 góc kề bù)

Nên: .

Vậy AM vuông góc với BC.

Ví dụ 5

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Gợi ý đáp án:

a)

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân tại A

b)

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

AM chung

(cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM(gt)

MH=MG(cmt)

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

(2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân tại A.

Ví dụ 6

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Gợi ý đáp án:

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của.

Chứng minh rằng:

a. 

b. Tam giác DIF cân.

Gợi ý đáp án:

a. Xét  và  có:

EI chung

DE = EF.

b. Vì  (chứng minh trên)

 Tam giác DIF cân tại I.

Cho tam giác ABC cân tại A có 

a. Tính .

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Gợi ý đáp án:

a. Vì tam giác ABC cân tại A 

b. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên 

mà AB = AC ( vì  cân)

 Tam giác AMN cân tại A.

c. Xét  cân tại A có: 

Xét  cân tại A có: 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

.

C. Các dạng bài tập cơ bản

Dạng 1: Cách vẽ tam giác cân, vuông cân, tam giác đều

1. Phương pháp giải:

Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại C có AB = 6 cm, AC = BC = 5cm.

Giải: (Vẽ tương tự như cách vẽ tam giác thường biết độ dài ba cạnh)

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm.

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5cm.

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.

- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.

Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.

Giải:

- Vẽ góc vuông xAy

- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC

- Nối B với C

- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A.

Ví dụ 3: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm.

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 4 cm.

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.

Dạng 2: Nhận biết một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều

1. Phương pháp giải:

Những dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều:

*Tam giác cân:

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

*Tam giác vuông cân:

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.

*Tam giác đều:

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (theo định nghĩa).

- Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tìm các tam giác cân, vuông cân, đều trên hình vẽ sau:

Giải:

(a) Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$ $\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-{50}^o-{65}^o={65}^o$

$\Delta ABC$ có $\widehat{B}=\widehat{C}={65}^o$

Do đó $\Delta ABC$ cân tại A.

(b) Ta có, $\Delta HKF$ vuông tại H có $\widehat{K}={45}^o$

Nên $\Delta HKF$ là tam giác vuông cân tại H  (1)

Vì $\widehat{DEF}=\widehat{HKF}={45}^o$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HK // DE

Vì $HK\perp HF$, HK // DE 

$\Rightarrow DE\perp DF$ (Tính chất từ vuông góc đến song song)

Ta có, $\Delta DEF$ vuông tại D có $\widehat{E}={45}^o$

Nên $\Delta DEF$ là tam giác vuông cân tại D (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta HKF$, $\Delta DEF$ là tam giác vuông cân.

(c) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={180}^o$$\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-\widehat{N}-\widehat{P}$

$\Rightarrow \widehat{M}={180}^o-{60}^o-{60}^o={60}^o$

Ta có, $\Delta MNP$ có $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}(={60}^o)$

Do đó $\Delta MNP$ là tam giác đều.

Dạng 3: Sử dụng định nghĩa, tính chất tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra các đoạn thẳng, các góc bằng nhau

1. Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A (BC < AB). Trên cạnh AB lấy D sao cho CD = CB.

a) Chứng minh: $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$.

b) Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = AD. Chứng minh BE = BA.

Giải:

a) $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(1\right)$

Vì $\Delta BCD$ cân tại C (do CD = CB)  nên $\widehat{CDB}=\widehat{DBC}=\widehat{ABC}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$

b) Ta có: $\widehat{ACB}+\widehat{BCE}={180}^o$

$\widehat{CDB}+\widehat{ADC}={180}^o$

Mà $\widehat{ACB}=\widehat{CDB}$ (câu a)

Do đó: $\widehat{ADC}=\widehat{BCE}$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ECB$ có:

CE = AD (gt)

$\widehat{ADC}=\widehat{BCE}$ (cmt)

CD = CB (gt)

Do đó: $\Delta ADC=\Delta ECB(c.g.c)$

$\Rightarrow BE=AC$ (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB (do tam giác ABC cân tại A)

Vậy BE = AB (đpcm).

Dạng 4: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc

1. Phương pháp giải:

Dựa vào định lý tổng ba góc của một tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh, các góc trong tam giác đó.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác phía đối với BC). Tính số đo góc BDA.

Giải:

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân)

BD = CD ($\Delta BCD$ đều)

Cạnh AD chung

Do đó: $\Delta ABD=\Delta ACD(c.c.c)$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$  (hai góc tương ứng)

Mặt khác, $\Delta BCD$ đều nên $\widehat{BDC}={60}^o={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2$

$\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2={30}^o$

Vậy $\widehat{BDA}={30}^o$.