50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án)

Van Anh Ngày: 16-09-2024 Lớp 7

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 50 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 7. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết chứng minh tam giác cân. Mời các bạn đón xem:

Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7

A. Bài tập chứng minh tam giác cân

1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Chọn câu sai

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và bằng 60°

B. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

C. Tam giác cân là tam giác đều.

D. Tam giác đều là tam giác cân.

Lời giải:

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều

Chọn đáp án C.

Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Lời giải:

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45°

Chọn đáp án B.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Chọn phát biểu sai

Lời giải:

Toán lớp 7 | Lý thuyết - Bài tập Toán 7 có đáp án

Chọn đáp án D.

Bài 4: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54° B. 58° C. 72° D. 90°

Lời giải:

Góc ở đỉnh là Trắc nghiệm Tam giác cân - Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết , góc ở đáy là

Áp dụng công thức số đo ở đáy là: Trắc nghiệm Tam giác cân - Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết

Chọn đáp án B.

Bài 5: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?

A. 64° B. 53° C. 70° D. 40°

Lời giải:

Góc ở đỉnh là Trắc nghiệm Tam giác cân - Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết , góc ở đáy là

Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° - 2.70° = 40°

Chọn đáp án D.

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn (không cân). Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chọn câu sai:

A. Tam giác ADC là tam giác cân

B. Tam giác ABE là tam giác cân

C. Tam giác ADE là tam giác cân

D. BC = DE

Lời giải:

Toán lớp 7 | Lý thuyết - Bài tập Toán 7 có đáp án

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ hai tam giác đều ACD và ABE. So sánh BD và CE.

A. BD = CE

B. BD > CE

C. BD < CE

D. BD = 2CE

Lời giải:

Toán lớp 7 | Lý thuyết - Bài tập Toán 7 có đáp án

Chọn đáp án A

Bài 8: Cho tam giác MNP cân tại P có $\hat{M}$ = 60°. Khi đó

A. Tam giác MNP vuông cân tại P

B. Tam giác MNP vuông cân tại M

C. Tam giác MNP là tam giác đều

D. Tam giác MNP là tam giác vuông tại P

Lời giải:

Ta có: tam giác MNP cân tại P có một góc $\hat{M}$ = 60°

Suy ra tam giác MNP đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A}$ = 2 $\hat{B}$ . Khi đó

A. Tam giác ABC là tam giác đều

B. Tam giác ABC là tam giác vuông tại B

C. Tam giác ABC vuông cân tại A

D. Tam giác ABC vuông cân tại C

Lời giải:

Toán lớp 7 | Lý thuyết - Bài tập Toán 7 có đáp án

Chọn đáp án C

Bài 10: Cho tam giác HIK đều có E là trung điểm của IK. Khi đó:

Toán lớp 7 | Lý thuyết - Bài tập Toán 7 có đáp án

Lời giải:

Toán lớp 7 | Lý thuyết - Bài tập Toán 7 có đáp án

Chọn đáp án B

2. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các đáp án dưới đây đáp án nào sai?

A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60°;

B. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;

C. Tam giác cân là tam giác đều;

D. Tam giác đều là tam giác cân đặc biệt.

Bài 2. Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau, biết Tam giác ABC cân tại A, biết rằng số đo $\hat{B}$ là 50^o, vậy số đo các góc còn lại của tam giác ABC đã cho là:

A. $\hat{A} = 50 °; \hat{C} = 80 °;$

B. $\hat{A} = 80 °; \hat{C} = 50 °;$

C. $\hat{A} = 40 °; \hat{C} = 90 °;$

D. $\hat{A} = 90 °; \hat{C} = 40 ° .$

Bài 3. Cho tam giác ABC cân, biết góc $\hat{A B C} = 70 °$ . Tính số đo của các góc còn lại của tam giác đó.

Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh BC lấy D, E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

Bài 5. Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 80 °; \hat{B} = 50 °$ .

a) Chứng minh tam giác ABC cân.

b) Đường thẳng song song với BC cắt tia đối của tia AB ở D, cắt tia đối của tia AC ở E. Chứng minh tam giác ADE cân.

Bài 6. Cho $\triangle$ ABC cân tại A có $\widehat{A}=70^{\circ}$ . Tính số đo các góc B và C.

Bài 7. Cho $\triangle$ ABC cân tại A có $\widehat{A}=120^{\circ}$ . Tính số đo các góc B và C.

Bài 8. Cho $\Delta M N P$ cân tại P có $\hat{P}=70^{\circ}$ . Tính số đo các góc $\mathrm{M} và \mathrm{N}.$

Bài 9. Cho $\triangle$ ABC vuông cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.

Bài 10. Cho $\triangle$ ABC cân tại A có $\hat{B}=30^{\circ}.$ Tính số đo các góc A và C.

Bài 11. Cho $\Delta M E F$ cân tai $\mathrm{M} có \widehat{E}=70^{\circ}$ . Tính số đo các góc M và F

Bài 12. Cho $\Delta P Q R$ cân tai Q có $\hat{R}=42^{\circ}$ . Tính số đo các góc P và Q

Bài 13. Cho $\triangle$ ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao cho B D=A B. Tính số đo góc ADB.

Bài 14. Cho $\triangle A B C$ cân tại A có $\widehat{A}=70^{\circ}$ . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Tính Bài số đo góc BIC.

Bài 15. Cho $\triangle$ ABC cân tại A có . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tai I, biết số đo $\widehat{B I C}=120^{\circ}$ . Tính số đo góc A.

Bài 16. Cho tam giác $\triangle$ ABC cân tại A có $\widehat{\mathrm{A}}=80^{\circ}$ . Tia phân giác góc B cắt AC tai I. Tính số đo góc BIC

Bài 17: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân

b)Dlà hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.

c) Khi góc xOy bằng 60⁰, chứng minh OA = 2O

Bài 18: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.

a) Chứng minh rBNC = rCMB

b) Chứng minh ∆BKCcân tại K

c) Chứngminh BC < KM

Bài 19: Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng

a) BD là trung trực của AE

b) DF = DC

c) AD < DC; d) AE // FC.

B. Lý thuyết Tam giác cân

1. Định nghĩa tam giác cân

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 1)

Ở hình trên, tam giác ABC có AB = AC suy ra tam giác ABC cân.

Có AB và AC là hai cạnh bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.

2. Tính chất tam giác cân

Tam giác cân có 4 tính chất sau đây:

Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

Chứng minh:

Giả thiết	Tam giác ABC cân tại A, AB = AC
Kết luận	$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 2)

Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc

Khi đó ta có $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (gt)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (cmt)

AM chung

Suy ta ΔABM = ΔACM (c.g.c) (đpcm)

Tính chất 2: Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.

Chứng minh

Giả thiết	Tam giác ABC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Kết luận	Tam giác ABC cân tại A

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 3)

Trong tam giác ABC, gọi AM là tia phân giác của

Tam giác ABM có $\widehat{ABM} + \widehat{AMB} + \widehat {BAM} = 180^0$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Tam giác ACM có $\widehat{ACM}+\widehat{CAM} + \widehat{CMA} = 180^0$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Mà lại có $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

nên $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

$\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

$\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$

Suy ra ΔABM = ΔACM (g - g - g) nên AB = AC (cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A (định nghĩa)

Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.

Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.

3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết đó là:

Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

4. Diện tích tam giác cân

Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2.

- Công thức tính diện tích tam giác cân: S = (a x h)/ 2

Trong đó:

a: Chiều dài đáy tam giác cân (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác)
h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy).

5. Cách chứng minh tam giác cân

– Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 4)

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo bài ra, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo bài ra, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE

a) So sánh góc ABD và ACE

b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?

Gợi ý đáp án

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} AB = AC \hspace{0,2cm} \\ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \hspace{0,2cm}\end{array} \right.$

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (giả thiết)

$\widehat{A}$ chung

AD = AE (giả thiết)

⇒ ΔABD = ΔACE (cạnh - góc - cạnh)

⇒ $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cặp góc tương ứng)

b) ΔIBC có:

$\begin{align*}\widehat{IBC} &= \widehat{ABC} - \widehat{ABD} \\&= \widehat{ACB} - \widehat{ACE} \hspace{0,2cm} (\text{vì} \widehat{ABC} = \widehat{ACB}; \widehat{ABD} = \widehat{ACE}) \\&= \widehat{ICB}\end{align*}$

⇒ ΔIBC cân tại I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 5)

Gợi ý đáp án:

Do tam giác ABC cân tại A nên: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB:

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

BC chung

$=>\Delta BFC = \Delta CEB$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=>BE=CF (2 cạnh tương ứng).

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Gợi ý đáp án:

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 6)

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB=MC (gt)

$\Rightarrow \Delta AMB=AMC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {CBM}$ (2 góc tương ứng)

$\Rightarrow AM$ là phân giác của góc BAC

Mặt khác: $\widehat {AMB} = \widehat {AMC}$ (2 góc tương ứng) mà $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$ (2 góc kề bù)

Nên: $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}$ .

Vậy AM vuông góc với BC.

Ví dụ 5

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Gợi ý đáp án:

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 7)

Xét 2 tam giác vuông AMC và AMB có:

AM chung

BM=CM (gt)

$=>\Delta AMB = \Delta AMC (c.g.c)$

=> AM=BM (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABM cân tại A

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 8)

Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB)

MG vuông góc với AC (G thuộc AC)

Xét 2 tam giác vuông AHM và AGC có:

$\widehat {HAM} = \widehat {GAM}$

AM chung

$=>\Delta AHM = \Delta AGC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=> HM=GM (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông BHM và CGM có:

BM=CM(gt)

MH=MG(cmt)

$=>\Delta BHM = \Delta CGM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$=>\widehat {BMH} = \widehat {CMH}$ (2 góc tương ứng)

=>Tam giác ABC cân tại A.

Ví dụ 6

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Gợi ý đáp án:

a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông

=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau

=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có:

$\begin{array}{l}x + x + {90^o} = {180^o}\\ \Rightarrow 2x = {90^o}\\ \Rightarrow x = {45^o}\end{array}$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.

c) Gọi góc còn lại của tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 45° là x, ta có:

$x + {45^o} + {90^o} = {180^o} \Rightarrow x = {45^o}$

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Ví dụ 7

Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của $\widehat{DEF}$ .

Chứng minh rằng:

a. $\Delta EID = \Delta EIF$

b. Tam giác DIF cân.

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 9)

Gợi ý đáp án:

a. Xét $\Delta EID$ và $\Delta EIF$ có:

EI chung

$\widehat{DEI} = \widehat{IEF}$

DE = EF.

$\Rightarrow \Delta EID = \Delta EIF (c.g.c)$

b. Vì $\Delta EID = \Delta EIF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ID = IF$

$\Rightarrow$ Tam giác DIF cân tại I.

Ví dụ 8

Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A} = 56^{0}$

50 Bài tập chứng minh tam giác cân lớp 7 (có đáp án) (ảnh 10)

a. Tính $\widehat{B}, \widehat{C}$ .

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Gợi ý đáp án:

a. Vì tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = (180^{0} - 56^{0}) : 2 = 62^{0}$

b. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên $AM = MB = \frac{AB}{2}, AM = MC = \frac{AC}{2}$

mà AB = AC ( vì $\Delta ABC$ cân)

$\Rightarrow AM = AN$

$\Rightarrow$ Tam giác AMN cân tại A.

c. Xét $\Delta AMN$ cân tại A có: $\widehat{AMN} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

Xét $\Delta ABC$ cân tại A có: $\widehat{ABC} = \frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ABC}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow MN // BC$ .

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 3

50 Bài tập nâng cao Ngày và tháng (có đáp án) Van Anh

Toán Lớp 2

50 Bài tập về thời gian lớp 2 (có đáp án) Van Anh

Toán Lớp 9

20 Bài tập Bài toán chuyển động - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình có đáp án Van Anh

Tìm kiếm