Vận dụng 1 trang 60 Chuyên đề Toán 12: Ở một hội chợ, người ta tổ chức trò chơi có thưởng như sau: Có 3 quả bóng giống nhau được đánh số từ 1 đến 3 và 3 cái hộp giống nhau cũng được đánh số từ 1 đến 3. Người chơi bị bịt mắt và phải cho bóng vào hộp sao cho mỗi hộp có đúng 1 quả bóng. Ứng với mỗi quả bóng cho vào hộp có cùng số với nó, người chơi sẽ được thưởng 2 000 đồng. Trước mỗi lượt chơi, người chơi phải mua vé ở chỗ quản trò với giá 1 000 đồng. Nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi hay quán trò có lợi hơn?

Lời giải:

Gọi X là số tiền thu về cho một lần chơi.

Vì trong một lần chơi thì số tiền thu về có thể là:

⦁ –1 000 đồng nếu không có quả bóng nào cùng số với hộp;

⦁ 1 000 đồng nếu có đúng một quả bóng cùng số với hộp;

⦁ 5 000 đồng nếu cả ba quả bóng đều cùng số với hộp.

Vậy tập giá trị của X là: {–1 000; 1 000; 5 000}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi đặt 3 quả bóng vào 3 cái hộp là: n(Ω) = 3! = 6.

– Biến cố “X bằng –1 000” xảy ra khi không có quả bóng nào cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng –1 000” là: 2 . 1 . 1 = 2.

Xác suất của biến cố “X bằng –1 000” là: $P\left(X=–1000\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

– Biến cố “X bằng 1 000” xảy ra khi có đúng một quả bóng cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 1 000” là: (1 . 1 . 1) . 3 = 3.

Xác suất của biến cố “X bằng 1 000” là: $P\left(X=1000\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

– Biến cố “X bằng 5 000” xảy ra khi cả ba quả bóng đều cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 5 000” là: 1.

Xác suất của biến cố “X bằng 5 000” là: $P\left(X=5000\right)=\frac{1}{6}.$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

$E\left(X\right)=\left(–1000\right)\cdot \frac{1}{3}+1000\cdot \frac{1}{2}+5000\cdot \frac{1}{6}=1000.$

Ta thấy E(X) > 0 nên nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi có lợi hơn.