3. Kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Khám phá 3 trang 58 Chuyên đề Toán 12: Khảo sát 40 học sinh lớp 12A về số xe máy có ở gia đình mỗi bạn. Kết quả được ghi vào bảng tần số sau:

Hỏi trung bình trong mỗi gia đình các bạn lớp 12A có bao nhiêu xe máy?

Lời giải:

Trung bình trong mỗi gia đình các bạn lớp 12A có số xe máy là:

$\frac{0\cdot 4+1\cdot 12+2\cdot 18+3\cdot 6}{40}=1,65.$

Thực hành 4 trang 60 Chuyên đề Toán 12: Một hộp chứa 3 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 3.

a) Lấy ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi X là số ghi trên thẻ đó. Hãy tính kì vọng của X.

b) Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Gọi Y là số lớn hơn trong hai số ghi trên hai thẻ đó. Hãy tính kì vọng của Y.

Lời giải:

a) X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc và nhận các giá trị trong tập hợp {1; 2; 3}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp là: n(Ω) = 3.

Do chỉ có 1 tấm thẻ được đánh số 1 nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 1” là 1. Vậy xác suất của biến cố “X = 1” là: $P\left(X=1\right)=\frac{1}{3}.$

Tương tự, ta có $P\left(X=2\right)=\frac{1}{3};$ $P\left(X=3\right)=\frac{1}{3}.$

Bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

$E\left(X\right)=0\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{3}.$

b) Y là biến cố ngẫu nhiên rời rạc và nhận các giá trị trong tập hợp {2; 3}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp là: n(Ω) = 3.

Do chỉ có một trường hợp xảy ra mà số lớn hơn trong hai số ghi trên hai thẻ đó là 2 (một thẻ ghi số 1 và một thẻ ghi số 2) nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “Y bằng 2” là 1.

Xác suất của biến cố “Y = 2” là: $P\left(Y=2\right)=\frac{1}{3}.$

Tương tự, ta có $P\left(Y=3\right)=\frac{2}{3}.$

Bảng phân bố xác suất của Y là:

Kì vọng của Y là:

$E\left(Y\right)=2\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$

Vận dụng 1 trang 60 Chuyên đề Toán 12: Ở một hội chợ, người ta tổ chức trò chơi có thưởng như sau: Có 3 quả bóng giống nhau được đánh số từ 1 đến 3 và 3 cái hộp giống nhau cũng được đánh số từ 1 đến 3. Người chơi bị bịt mắt và phải cho bóng vào hộp sao cho mỗi hộp có đúng 1 quả bóng. Ứng với mỗi quả bóng cho vào hộp có cùng số với nó, người chơi sẽ được thưởng 2 000 đồng. Trước mỗi lượt chơi, người chơi phải mua vé ở chỗ quản trò với giá 1 000 đồng. Nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi hay quán trò có lợi hơn?

Lời giải:

Gọi X là số tiền thu về cho một lần chơi.

Vì trong một lần chơi thì số tiền thu về có thể là:

⦁ –1 000 đồng nếu không có quả bóng nào cùng số với hộp;

⦁ 1 000 đồng nếu có đúng một quả bóng cùng số với hộp;

⦁ 5 000 đồng nếu cả ba quả bóng đều cùng số với hộp.

Vậy tập giá trị của X là: {–1 000; 1 000; 5 000}.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi đặt 3 quả bóng vào 3 cái hộp là: n(Ω) = 3! = 6.

– Biến cố “X bằng –1 000” xảy ra khi không có quả bóng nào cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng –1 000” là: 2 . 1 . 1 = 2.

Xác suất của biến cố “X bằng –1 000” là: $P\left(X=–1000\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

– Biến cố “X bằng 1 000” xảy ra khi có đúng một quả bóng cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 1 000” là: (1 . 1 . 1) . 3 = 3.

Xác suất của biến cố “X bằng 1 000” là: $P\left(X=1000\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

– Biến cố “X bằng 5 000” xảy ra khi cả ba quả bóng đều cùng số với hộp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 5 000” là: 1.

Xác suất của biến cố “X bằng 5 000” là: $P\left(X=5000\right)=\frac{1}{6}.$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

$E\left(X\right)=\left(–1000\right)\cdot \frac{1}{3}+1000\cdot \frac{1}{2}+5000\cdot \frac{1}{6}=1000.$

Ta thấy E(X) > 0 nên nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi có lợi hơn.

4. Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫn nhiên rời rạc

Khám phá 4 trang 60 Chuyên đề Toán 12: Cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Hãy so sánh kì vọng của X và kì vọng của Y.

b) Biến ngẫu nhiên rời rạc nào có các giá trị “phân tán” rộng hơn?

Lời giải:

a) Kì vọng của X là:

E(X) = (–3) . 0,25 + 2 . 0,5 + 3 . 0,25 = 1.

Kì vọng của Y là:

E(Y) = (–200) . 0,25 + 2 . 0,5 + 200 . 0,25 = 1.

Do đó E(X) = E(Y).

b) Biến ngẫu nhiên rời rạc Y có các giá trị “phân tán” rộng hơn.

Thực hành 5 trang 61 Chuyên đề Toán 12: Hãy tính V(Y) ở Ví dụ 8 bằng công thức (1).

Lời giải:

Phương sai của Y là:

V(Y) = (–200)² . 0,25 + 2² . 0,5 + 200² . 0,25 – 1² = 20 001.

Thực hành 6 trang 62 Chuyên đề Toán 12: Mỗi ngày trong tuần, bác Linh sẽ chọn một trong ba phương tiện là xe đạp, xe máy hoặc xe buýt để đi đến cơ quan. Thời gian đi từ nhà đến cơ quan khi đi bằng xe đạp, xe máy hoặc xe buýt lần lượt là 20 phút, 10 phút và 12 phút. Biết rằng xác suất bác Linh chọn xe đạp, xe máy và xe buýt lần lượt là 0,3; 0,5 và 0,2. Chọn ngẫu nhiên một ngày trong tuần và gọi X là thời gian bác Linh đi từ nhà đến cơ quan ngày hôm đó. Tính kì vọng và phương sai của X.

Lời giải:

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 20 . 0,3 + 10 . 0,5 + 12 . 0,2 = 13,4.

Phương sai của X là:

V(X) = 20² . 0,3 + 10² . 0,5 + 12² . 0,2 – 13,4² = 19,24.

Vận dụng 2 trang 63 Chuyên đề Toán 12: Hai xạ thủ Vinh và Huy cùng tập bắn vào một bia. Xác suất bắn trúng vòng 9 và 10 của xạ thủ Vinh lần lượt là 0,4 và 0,3. Xác suất bắn trúng vòng 9 và 10 của xạ thủ Huy lần lượt là 0,6 và 0,2. Điểm số xạ thủ đạt được khi bắn trúng vòng 10 và 9 lần lượt là 2 và 1. Nếu xạ thủ không bắn trúng hai vòng trên thì được 0 điểm.

a) Nếu so sánh theo kì vọng thì xạ thủ nào có kết quả bắn tốt hơn?

b) Nếu so sánh theo phương sai thì xạ thủ nào có kết quả bắn ổn định hơn?

Lời giải:

Gọi X và Y lần lượt là số điểm nhận được của xạ thủ Vinh và Huy khi bắn vào bia.

Xác suất xạ thủ Vinh không bắn trúng hai vòng 9 và 10 là: 1 – 0,4 – 0,3 = 0,3.

Bảng phân bố xác suất của X là:

Xác suất xạ thủ Huy không bắn trúng hai vòng 9 và 10 là: 1 – 0,6 – 0,2 = 0,2.

Bảng phân bố xác suất của Y là:

a) Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . 0,3 + 1 . 0,4 + 2 . 0,3 = 1.

Kì vọng của Y là:

E(Y) = 0 . 0,2 + 1 . 0,6 + 2 . 0,2 = 1.

Ta thấy E(X) = E(Y) nên hai xạ thủ bắn tốt như nhau.

b) Phương sai của X là:

V(X) = 0² . 0,3 + 1² . 0,4 + 2² . 0,3 – 1² = 0,6.

Phương sai của Y là:

V(Y) = 0² . 0,2 + 1² . 0,6 + 2² . 0,2 – 1² = 0,4.

Ta thấy V(X) > V(Y) nên xạ thủ Huy bắn ổn định hơn.

Bài tập

Bài 1 trang 63 Chuyên đề Toán 12: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc Z có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Tìm tập các giá trị có thể của Z.

b) Tính xác suất của biến cố “Z bằng 0” và của biến cố “Z là số âm”.

Lời giải:

a) Tập cá giá trị có thể của Z là: {–2; –1; 0; 1; 2}.

b) ⦁ Xác suất của biến cố “Z bằng 0” là: P(Z = 0) = 0,4.

⦁ Biến cố “Z là số âm” xảy ra khi Z = –2 hoặc Z = –1.

Xác suất của biến cố “Z là số âm” là:

P(Z < 0) = P(Z = –2) + P(Z = –1) = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Bài 2 trang 63 Chuyên đề Toán 12: Sau khi khảo sát hiệu quả sử dụng của các cột sạc ô tô điện ở một khu vực, người ta thu được bảng phân bố xác suất của số lượng xe, kí hiệu là X, sạc điện ở mỗi cột sạc trong một ngày như sau:

a) Tìm p.

b) Hỏi trung bình một ngày có bao nhiêu xe được sạc điện ở một cột sạc?

c) Tính độ lệch chuẩn của X.

Lời giải:

a) Ta có 0,1 + p + 4p + 3p + p = 1 hay 9p = 0,9 nên suy ra p = 0,1.

b) Ta có bảng phân số xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 0 . 0,1 + 1 . 0,1 + 2 . 0,4 + 3 . 0,3 + 4 . 0,1 = 2,2.

Trung bình một ngày có khoảng 2,2 xe được sạc điện ở một cột sạc.

c) Phương sai của X là:

V(X) = 0² . 0,1 + 1² . 0,1 + 2² . 0,4 + 3² . 0,3 + 4² . 0,1 – 2,2² = 1,16.

Độ lệch chuẩn của Y là:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{1,16}=\frac{\sqrt{29}}{5}\approx 1,077.$

Bài 3 trang 64 Chuyên đề Toán 12: Một túi chứa 2 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ túi. Gọi Y là số viên bi đỏ trong 2 viên bi được chọn ra.

a) Hãy tìm tập các giá trị có thể của Y.

b) Lập bảng phân bố xác suất của Y.

c) Tính kì vọng và phương sai của Y.

Lời giải:

a) Tập các giá trị có thể của Y là: {0; 1; 2}.

b) Tổng số kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ túi là: $n\left(\Omega \right)=C_{10}^2=45.$

Biến cố “Y bằng 0” xảy ra khi cả hai viên đi đều có màu xanh nên số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Y bằng 0” là $C_2^2=1.$

Xác suất của biến cố “Y bằng 0” là: $P\left(Y=0\right)=\frac{1}{45}.$

Tương tự, ta có: $P\left(Y=1\right)=\frac{16}{45};$ $P\left(Y=2\right)=\frac{28}{45}.$

Ta có bảng phân bố xác suất của Y là:

c) Kì vọng của Y là:

$E\left(Y\right)=0\cdot \frac{1}{45}+1\cdot \frac{16}{45}+2\cdot \frac{28}{45}=1,6.$

Phương sai của Y là:

$V\left(Y\right)=0^2\cdot \frac{1}{45}+1^2\cdot \frac{16}{45}+2^2\cdot \frac{28}{45}-1,6^2=\frac{64}{225}.$

Bài 4 trang 64 Chuyên đề Toán 12: Kết quả khảo sát cân nặng (làm tròn đến 100 g) của 50 trái sầu riêng trong một lô hàng A được tổng hợp ở bảng sau:

a) Chọn ngẫu nhiên 1 trái sầu riêng trong lô hàng A và gọi X là cân nặng (làm tròn đến 100 g) của trái sầu riêng đó. Hãy tính kì vọng và độ lệch chuẩn của X.

b) Cân nặng của một quả sầu riêng được lựa chọn ngẫu nhiên từ lô hàng B có kì vọng 2 524 g và độ lệch chuẩn là 121 g. Hỏi nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì sầu riêng ở lô hàng nào có cân nặng đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Do có 6 trái sầu riêng có cân nặng 2 400 g nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “X bằng 2 400” là 6. Xác suất của biến cố “X bằng 2 400” là $P\left(X=2400\right)=\frac{6}{50}=0,12.$

Tương tự, ta có $P\left(X=2500\right)=\frac{20}{50}=0,4;$ $P\left(X=2600\right)=\frac{16}{50}=0,32;$ $P\left(X=2700\right)=\frac{8}{50}=0,16.$

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Kì vọng của X là:

E(X) = 2 400 . 0,12 + 2 500 . 0,4 + 2 600 . 0,32 + 2 700 . 0,16 = 2 552.

Phương sai của X là:

V(X) = 2 400² . 0,12 + 2 500² . 0,4 + 2 600² . 0,32 + 2 700² . 0,16 – 2 552² = 8 096.

Độ lệch chuẩn của X là:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{8096}=4\sqrt{506}\approx 90.$

b) Ta thấy 90 < 121 nên độ lệch chuẩn của lô hàng A nhỏ hơn độ lệch chuẩn của lô hàng B, do đó sầu riêng ở lô hàng A có cân nặng đồng đều hơn.

Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài tập cuối chuyên đề 3