Với giải Thực hành 2 trang 18 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Thực hành 2 trang 18 Chuyên đề Toán 12: Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng a (cm) không đổi (Hình 5). Gọi α là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên $\left(\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi \right)$. Tìm α để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Lời giải:

Gọi tên các điểm như hình vẽ dưới đây.

Kẻ các đường cao AF, BE của hình thang cân ABCD.

Ta chứng minh được ABEF là hình chữ nhật và DF = EC.

Khi đó ta có EF = AB = a (cm).

Đặt DF = EC = x (cm, 0 ≤ x < a).

Ta có DC = DF + FE + EC = x + a + x = 2x + a (cm).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được $AF=\sqrt{A{D}^2-D{F}^2}=\sqrt{a^2-x^2}$(cm).

 Diện tích mặt cắt ngang của máng nước hay chính là diện tích hình thang cân ABCD là S = (AB + CD) ∙ AF : 2 = (a + 2x + a) ∙ $\sqrt{a^2-x^2}$: 2 = (a + x)$\sqrt{a^2-x^2}$ (cm²).

Xét hàm số S(x) = (a + x)$\sqrt{a^2-x^2}$ với x ∈ [0; a).

Ta có $S^{\text{'}}\left(x\right)=\sqrt{a^2-x^2}-\left(a+x\right)\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$.

          S'(x) = 0 ⇔ – 2x² – ax + a² = 0 ⇔ (2x – a)(x + a) = 0 ⇔ x = $\frac{a}{2}$ ∈ [0; a).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left[0;a\right)}{\max }S\left(x\right)=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$, đạt được tại x = $\frac{a}{2}$.

Khi đó ta có, $\sin \widehat{DAF}=\frac{DF}{DA}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{DAF}=\frac{\pi }{6}$.

Suy ra $\widehat{DAB}=\widehat{DAF}+\widehat{FAB}=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right)$.

Vậy $\alpha =\frac{2\pi }{3}$ thì diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.