Với giải Bài 4 trang 21 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 4 trang 21 Chuyên đề Toán 12: Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí A cách bờ biển 3 km, B là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí C trên bờ biển, cách vị trí B một khoảng 4 km (Hình 9). Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng AD và DC (D là một vị trí nằm giữa B và C). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của D như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?

Lời giải:

Đặt BD = x (km, 0 ≤ x ≤ 4).

Ta có DC = 4 – x (km).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:

AD = $\sqrt{x^2+3^2}=\sqrt{x^2+9}$(km).

Giả sử chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu trên bờ là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu đặt dưới biển là 2a (đồng).

Tổng chi phí lắp đặt đường ống là

C = 2a$\sqrt{x^2+9}$ + a(4 – x) = 2a$\sqrt{x^2+9}$ + 4a – ax (đồng).

Xét hàm số f(x) = 2a$\sqrt{x^2+9}$ + 4a – ax với x ∈ [0; 4] và a > 0.

Ta có f'(x) = $\frac{2ax}{\sqrt{x^2+9}}-a$;

          f'(x) = 0 $\iff \frac{2ax}{\sqrt{x^2+9}}-a=0\iff \sqrt{x^2+9}=2x$

     ⇔ x² + 9 = 4x² ⇔ 3x² = 9 ⇔ x² = 3 ⇔ x = $\sqrt{3}$ ∈ [0; 4].

Ta có f(0) = 10a; $f\left(\sqrt{3}\right)=\left(3\sqrt{3}+4\right)a$; f(4) = 10a.

Do đó, $\underset{\left[0;4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(\sqrt{3}\right)=\left(3\sqrt{3}+4\right)a$(do a > 0) tại x = $\sqrt{3}$.

Vậy cần đặt vị trí D nằm giữa B và C sao cho D cách B một khoảng bằng $\sqrt{3}$km để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất.