Với giải Bài 3 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 3 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là bé nhất?

Lời giải:

Từ hình vẽ, ta tính được kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là a – 3 (m) và b – 2 (m). Từ đó suy ra a > 3 và b > 2.

Diện tích phần mặt nước là S₁ = (a – 3)(b – 2) = 54 (m²)

Suy ra $b=\frac{54}{a-3}+2$(m).

Diện tích phần đường đi là S = ab – 54 = $a\cdot \left(\frac{54}{a-3}+2\right)-54=\frac{54a}{a-3}+2a-54$(m²).

Xét hàm số $S\left(a\right)=\frac{54a}{a-3}+2a-54$ với a ∈ (3; + ∞).

Ta có $S^{\text{'}}\left(a\right)=2-\frac{162}{{\left(a-3\right)}^2}$;

          S'(a) = 0 $\iff 2-\frac{162}{{\left(a-3\right)}^2}=0\iff {\left(a-3\right)}^2=81\iff a=12\in \left(3;+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(3;+\infty \right)}{\min }S\left(a\right)=42$, đạt được khi a = 12.

Với a = 12 thì ta có $b=\frac{54}{12-3}+2=8$.

Vậy bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 12 m và 8 m thì diện tích phần đường đi là bé nhất.