Với giải Bài 1 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 1 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m². Các kích thước x, y (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.

Lời giải:

Đường kính của nửa hình tròn là x (m, x > 0), suy ra bán kính nửa hình tròn là $\frac{x}{2}$(m).

Diện tích phần mặt cắt hình chữ nhật là S₁ = xy (m²). (x, y > 0)

Diện tích phần mặt cắt nửa hình tròn là S₂ = $\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{1}{8}\pi x^2$ (m²).

Theo bài ra ta có S₁ + S₂ = 2 hay $xy+\frac{1}{8}\pi x^2=2$, suy ra $y=\frac{2}{x}-\frac{1}{8}\pi x$.

Vì x, y > 0 nên $\frac{2}{x}-\frac{1}{8}\pi x>0$, từ đó suy ra $0<x<\frac{4\sqrt{\pi }}{\pi }$.

Chu vi nửa hình tròn là C₁ = $\frac{1}{2}$πx (m).  

Chu vi mặt cắt ngang là

C = $\frac{1}{2}\pi x+x+2y=\frac{1}{2}\pi x+x+2\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{8}\pi x\right)=\frac{1}{4}\pi x+x+\frac{4}{x}$(m) với $0<x<\frac{4\sqrt{\pi }}{\pi }$.

Xét hàm số f(x) = $\frac{1}{4}\pi x+x+\frac{4}{x}$ với $0<x<\frac{4\sqrt{\pi }}{\pi }$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{4}\pi +1-\frac{4}{x^2}$;

f'(x) = 0 $\iff \frac{1}{4}\pi +1-\frac{4}{x^2}=0\iff x=\frac{4\sqrt{\pi +4}}{\pi +4}\in \left(0;\frac{4\sqrt{\pi }}{\pi }\right)$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;\frac{4\sqrt{\pi }}{\pi }\right)}{\min }f\left(x\right)=2\sqrt{\pi +4}$, đạt được tại $x=\frac{4\sqrt{\pi +4}}{\pi +4}$.

Với $x=\frac{4\sqrt{\pi +4}}{\pi +4}$ thì $y=\frac{2}{x}-\frac{1}{8}\pi x=\frac{2\sqrt{\pi +4}}{\pi +4}$.

Vậy $x=\frac{4\sqrt{\pi +4}}{\pi +4}$ (m) và $y=\frac{2\sqrt{\pi +4}}{\pi +4}$(m) thì chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này bằng $2\sqrt{\pi +4}$(m).