Với giải Khám phá trang 15 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Khám phá trang 15 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là 500 dm³ (Hình 1). Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ 3 dm đến 10 dm.

a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là x (dm), chiều cao của thùng là h (dm) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu S, có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?

b) Có thể biểu thị tổng diện tích S theo x không? Biến x nhận giá trị trong miền nào?

c) Với giá trị nào của x thì S có giá trị nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Tổng diện tích các mặt của thùng là S = 4xh + x² (dm²).

b) Thể tích của thùng là V = x²h = 500 (dm³).

Suy ra $h=\frac{500}{x^2}$(dm).

Vì 3 ≤ h ≤ 10 nên $3\le \frac{500}{x^2}\le 10$, suy ra $5\sqrt{2}\le x\le \frac{10\sqrt{15}}{3}$

Khi đó, tổng diện tích các mặt của thùng là

S(x) = $\frac{2000}{x}+x^2$ (dm²) với $x\in \left[5\sqrt{2};\frac{10\sqrt{15}}{3}\right]$.

c) Xét hàm số S(x) = $\frac{2000}{x}+x^2$ (dm²) với $x\in \left[5\sqrt{2};\frac{10\sqrt{15}}{3}\right]$

Ta có S'(x) = $\frac{-2000}{x^2}+2x$;

Trên khoảng $\left(5\sqrt{2};\frac{10\sqrt{15}}{3}\right)$, S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Có $S\left(5\sqrt{2}\right)=200\sqrt{2}+50$; S(10) = 300; $S\left(\frac{10\sqrt{15}}{3}\right)=40\sqrt{15}+\frac{500}{3}$.

Do đó, $\underset{\left[5\sqrt{2};\frac{10\sqrt{15}}{3}\right]}{\min }S\left(x\right)=300$ tại x = 10.

Vậy với x = 10 dm thì S có giá trị nhỏ nhất.