Với giải Bài 2 trang 20 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 2 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn xây một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích 1 800 m³ và chiều sâu 2 m (Hình 7). Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể. Cần chọn chiều dài và chiều rộng của bể bằng bao nhiêu để tiết kiệm chi phí xây dựng bể nhất?

Lời giải:

Gọi x, y (x > 0, y > 0, tính bằng mét) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể.

Thể tích của bể là V = 2xy = 1 800 (m³), suy ra $y=\frac{900}{x}$(m).

Diện tích đáy bể là S_đ = xy (m²).

Diện tích thành bể là S_t = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (m²).

Giả sử chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích thành bể là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích đáy bể là 2a (đồng).

Tổng chi phí để xây bể bơi là

C = 2axy + a ∙ 4(x + y) = $2ax\cdot \frac{900}{x}+4a\left(x+\frac{900}{x}\right)=1800a+4ax+\frac{3600a}{x}$(đồng).

Xét hàm số f(x) = 1800a + 4ax + $\frac{3600a}{x}$ với x ∈ (0; + ∞) và a > 0.

Ta có f'(x) = 4a – $\frac{3600a}{x^2}$;

          f'(x) = 0 ⇔ $4a-\frac{3600a}{x^2}=0\iff x^2=900\iff x=30\in \left(0;+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=2040a$, đạt được tại x = 30.

Với x = 30 m thì ta có $y=\frac{900}{x}=\frac{900}{30}=30$.

Vậy với chiều rộng và chiều dài của bể bằng nhau và bằng 30 m thì tiết kiệm được chi phí xây dựng bể nhất.