HĐ3 trang 49 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, AB//A’B’ và $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$. Do đó, tứ giác ABB’A’ là hình bình hành. Suy ra, AA’//BB’ và $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }\Rightarrow$ hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Vì $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, BC//B’C’ và $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$. Do đó, tứ giác CBB’C’ là hình bình hành. Suy ra, CC’//BB’ và $C{C}^{\prime }=B{B}^{\prime }\Rightarrow$ hai vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

b) Vì hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ có cùng hướng và cùng độ dài; hai vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ có cùng hướng và cùng độ dài nên hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Do đó, AA’//CC’ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ nên tứ giác AA’C’C là hình bình hành. Suy ra, $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$ và AC//A’C’. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ có cùng hướng và cùng độ dài. Suy ra, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.