b) $y=x^4-2x^2-1$;
c) $y=\frac{2x-1}{3x+1}$;
d) $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3{\left(x-1\right)}^2,y^{\prime }=0\iff x=1$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-1$ không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Bảng biến thiên:

 Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;1\right)$.

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số $y=x^4-2x^2-1$ đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(3x+1\right)-3\left(2x-1\right)}{{\left(3x+1\right)}^2}=\frac{5}{{\left(3x+1\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne \frac{-1}{3}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{2x-1}{3x+1}$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };\frac{-1}{3}\right)$ và $\left(\frac{-1}{3};+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x+2\right)\left(x+1\right)-\left(x^2+2x+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-2;-1\right)$ và $\left(-1;0\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đạt cực đại tại $x=-2$ và .

Hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y_{CT}=2$.

a) $y=\frac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng $\left[2;+\mathrm{\infty }\right)$;
b) $y=\sqrt{2-x^2}$;

a) $y=\frac{3x-2}{x+1}$;
b) $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$.

a) $y=-x^3+6x^2-9x+12$;
b) $y=\frac{2x-1}{x+1}$;
c) $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$.

Lời giải:

a) 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+12x-9,y^{\prime }=0\iff -3x^2+12x-9=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Trên khoảng $\left(1;3\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=3$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=8$

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{12}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+6x^2-9x+12\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{12}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+6x^2-9x+12$ với trục tung là (0; 12).

Đồ thị hàm số $y=-x^3+6x^2-9x+12$ đi qua các điểm (1; 8); (3; 12); (4; 8).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) 1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

2. Sự biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne -1$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x-1}{x+1}=2;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x-1}{x+1}=2$
$\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x+1}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x+1}=-\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=2$ làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;-1\right)$.

$y=0\iff \frac{2x-1}{x+1}=0\iff x=\frac{1}{2}$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) 1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$

$y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x+2}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{{\left(x-1\right)}^2+1}{{\left(x-1\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne 1$

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x}{x-1}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x}{x-1}=-\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2-2x}{x-1}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2-2x}{x-1}=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x-1-\frac{1}{x-1}-\left(x-1\right)\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{x-1}=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x-1-\frac{1}{x-1}-\left(x-1\right)\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1}{x-1}=0$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=x-1$ làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

$y=0\iff \frac{x^2-2x}{x-1}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (0; 0) và (2; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

a) Viết công thức tính $q=g\left(p\right)$ như một hàm số của biến $p\in \left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.
b) Tính các giới hạn $\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(p\right),\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số $q=g\left(p\right)$ trên khoảng $\left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}\Rightarrow q=\frac{pf}{p-f}$. Do đó, $q=g\left(p\right)=\frac{pf}{p-f}$ với $p\in \left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

b)$\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(p\right)=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f}{1-\frac{f}{p}}=f,\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)=\underset{p\to f^{+}}{lim}\frac{pf}{p-f}=+\mathrm{\infty }$

Ý nghĩa của $\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(p\right)=f$: Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của $\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)=+\mathrm{\infty }$: Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có: $q^{\prime }=g^{\prime }\left(p\right)=\frac{-f^2}{{\left(p-f\right)}^2}<0\mathrm{\forall }p\in \left(f;+\mathrm{\infty }\right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bảng biến thiên:

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].
c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm?

Lời giải:

Đặt $MB=x\left(km,0\le x\le 10\right)$, khi đó, $AM=10-x$ (km) và $MC=\sqrt{M{B}^2+C{B}^2}=\sqrt{x^2+16}$ (km)

Khi đó, chi phí nối điện từ A đến C là: $f\left(x\right)=30\left(10-x\right)+50\sqrt{x^2+16}$ (triệu đồng)

Ta có:$f^{\prime }\left(x\right)=-30+\frac{50x}{\sqrt{x^2+16}}=0\iff \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{3}{5}\iff 25x^2=9x^2+144\iff x=3$(do $0\le x\le 10$)

Ta có: $f\left(0\right)=500;f\left(3\right)=460,f\left(10\right)=100\sqrt{29}$ nên chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi $x=3$

Vậy M cách B một khoảng 3km trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.