Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 18 trang 87 SBT Toán 9 Tập 1: Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét), biết bóng của cột cờ được chiếu bởi ánh sáng Mặt Trời xuống mặt đất dài 10,5 m và góc tạo bởi tia sáng với phương nằm ngang là 36°.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A ở hình vẽ trên mô tả cột cờ AB có bóng nắng của cột cờ trên mặt đất là AC = 10,5 m và góc tạo bởi tia nắng với phương nằm ngang là $\widehat{ACB}=36°.$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên:

$AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=10,5\cdot \tan 36°\approx 7,63\text{ (m).}$

Bài 19 trang 87 SBT Toán 9 Tập 1: Một khối u (ở vị trí A ) của một bệnh nhân cách da mặt 5,7 cm, được chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia (ở vị trí B) cách hình chiếu của khối u (ở vị trí C) trên da mặt là 8,3 cm (Hình 19).

a) Hỏi góc tạo bởi chùm tia gamma với da mặt là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

b) Chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu centimét để đến được khối u (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Theo đề bài, ta có: độ dài đường đi của chùm tia gamma tới khối u là AB; góc tạo bởi chùm tia gamma với da mặt là góc ABC.

a) Vì tam giác ABC vuông tại C nên $\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}=\frac{5,7}{8,3}=\frac{57}{83}.$

Suy ra $\widehat{ABC}\approx 34,5°.$

Vậy góc tạo bởi chùm tia gamma với da mặt xấp xỉ 34,5°.

b) Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AC² + BC² = 5,7² + 8,3² = 101,38.

Suy ra $AB=\sqrt{101,38}\approx 10,1\text{ (cm).}$

Bài 20 trang 88 SBT Toán 9 Tập 1: Môt người đứng chào cờ (ở vị trí A) cách cột cờ (ở vị trí C) với AC = 20 m. Người đó đặt mắt tại vị trí B cách mặt đất một khoảng là AB = 1,5 m. Người đó nhìn lên đỉnh cột cờ (ở vị trí E) theo phương BE tạo với phương nằm ngang BD một góc là $\widehat{EBD}=32°$ (Hình 20). Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Do $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=\widehat{CDB}=90°$ nên ABDC là hình chữ nhật.

Suy ra CD = AB = 1,5 m và BD = AC = 20 m.

Vì tam giác BDE vuông tại D nên $DE=BD\cdot \tan \widehat{EBD}=20\cdot \tan 32°.$

Khi đó: CE = CD + DE = 1,5 + 20.tan 32° ≈ 14 (m).

Vậy chiều cao của cột cờ khoảng 14 mét.

Bài 21 trang 88 SBT Toán 9 Tập 1: Bạn Hoà vẽ mặt cắt đứng phần mái của một ngôi nhà có dạng tam giác cân ABC (mái hai dốc). Biết rằng góc tạo bởi phần mái nhà và mặt phẳng nằm ngang là $\widehat{ABC}=25°$ và độ dài mỗi bên dốc mái là 3,5 m (Hình 21). Tính độ dài đoạn thẳng BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải:

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Vì ∆ABH vuông tại H nên $BH=AB\cdot \text{cos}\widehat{ABH}=3,5\cdot \text{cos}25°.$

Xét ∆ABH và ∆ACH có

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°;$

AB = AC (= 3,5 m);

AH là cạnh chung.

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

Khi đó, BC = 2BH = 2⋅3,5⋅cos25° ≈ 6,3 (m).

Bài 22 trang 88 SBT Toán 9 Tập 1: Trên mặt biển, khi khoảng cách từ ca nô đến chân tháp hải đăng là AB = 300 m, một người đứng trên tháp hải đăng đó, đặt mắt tại vị trí C và nhìn về phía ca nô theo phương CA tạo với phương nằm ngang Cx một góc là $\widehat{ACx}=27°$ (minh hoạ ở Hình 22). Tính chiều cao BH của tháp hải đăng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét), biết AB // Cx và độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh tháp hải đăng là CH = 2,1 m.

Lời giải:

Do AB // Cx nên $\widehat{BAC}=\widehat{ACx}=27°$ (hai góc so le trong).

Vì ∆ABC vuông tại B nên $BC=AB\cdot \text{tan}\widehat{BAC}=300\cdot \text{tan}27°.$

Khi đó BH = BC + CH = 300.tan27° + 2,1 ≈ 154,96 (m).

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 154,96 mét.

Bài 23 trang 88 SBT Toán 9 Tập 1: Một chiếc thuyền đi với tốc độ 20 km/h theo hướng Đông trong 1 giờ 30 phút từ vị trí P đến vị trí A. Sau đó, nó sẽ đi theo hướng Bắc với cùng tốc độ trong 3 giờ 30 phút đến vị trí B (Hình 23). Tính góc so với hướng Đông mà thuyền đi từ vị trí P đến vị trí B (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút).

Lời giải:

Đổi: 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ; 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ.

Theo đề bài, ta có góc so với hướng Đông mà thuyền đi từ vị trí P đến vị trí B là góc APB.

Quãng đường PA là: PA = 20.1,5 = 30 (km).

Quãng đường AB là: AB = 20.3,5 = 70 (km).

Xét ∆ABP vuông tại A,  ta có: $\text{tan}\widehat{APB}=\frac{AB}{PA}=\frac{70}{30}=\frac{7}{3}.$

Suy ra $\widehat{APB}\approx 66°{48}^{\text{'}}.$

Bài 24 trang 89 SBT Toán 9 Tập 1: Từ một máy bay trực thăng, một người đặt mắt tại vị trí M ở độ cao MH = 920 m. Người đó nhìn hai vị trí A và B của hai đầu một cây cầu theo phương MA và MB tạo với phương nằm ngang Mx các góc lần lượt là $\widehat{AMx}=37°$ và $\widehat{BMx}=31°$ với Mx // AB (Hình 24). Hỏi độ dài AB của cây cầu là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Do Mx // AB nên $\widehat{HAM}=\widehat{AMx}=37°;\widehat{HBM}=\widehat{BMx}=31°$ (các cặp góc ở vị trí so le trong).

Vì ∆AMH vuông tại H  nên $AH=MH\cdot \text{cot}\widehat{HAM}=920\cdot \text{cot}37°.$

Vì ∆BMH vuông tại H  nên $BH=MH\cdot \text{cot}\widehat{HBM}=920\cdot \text{cot}31°.$

Do đó AB = BH ‒ AH = 920.cot 31° ‒ 920.cot 37° ≈ 310 (m).

Vậy độ dài AB cây cầu khoảng 310 mét.

Bài 25 trang 89 SBT Toán 9 Tập 1: Từ một đài quan sát, một người đặt mắt tại vị trí B. Người đó nhìn thấy một chiếc ô tô ở vị trí C theo phương BC tạo với phương nằm ngang Bx một góc là $\widehat{CBx}=23°$với Bx // AC. Khi đó, khoảng cách giữa ô tô và chân đài quan sát là AC = 1 284 m. Nếu ô tô từ vị trí C tiếp tục đi về phía chân đài quan sát với tốc độ 60 km/h thì sau 1 phút, người đó nhìn thấy ô tô ở vị trí D với góc $\widehat{DBx}=\alpha$ (Hình 25).

a) Tính chiều cao của đài quan sát (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét), biết độ cao từ tầm mắt của người đó đến đỉnh đài quan sát là 3 m.

b) Tính số đo góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút).

c) Tính khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí D (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

a) Do Bx // AC  nên $\widehat{ACB}=\widehat{CBx}$ (so le trong).

Vì ∆ABC vuông tại A nên

$AB=AC\cdot \text{tan}\widehat{ACB}=1284\cdot \text{tan}23°\approx 545\text{ (m).}$

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: 3 + 545 = 548 (m).

b) Đổi: 60 km/h = 1 000 m/ phút.

Do Bx // AC nên ta tính được $\widehat{ABx}=\widehat{BAC}=90°.$

Quãng đường CD là: CD = 1 000 . 1 = 1 000 (m).

Suy ra: AD = AC ‒ CD = 1 284  ‒ 1 000 = 284 (m).

Xét ∆ABD vuông tại A có: $\text{tan}\widehat{ABD}=\frac{AD}{AB}\approx \frac{284}{545}.$

Suy ra $\widehat{ABD}\approx 27°{31}^{\text{'}}$.

Mà $\widehat{DBx}+\widehat{ABD}=\widehat{ABx}=90°.$

Suy ra $\alpha =90°-\widehat{ABD}\approx 90°-27°{31}^{\text{'}}=62°{29}^{\text{'}}.$

c) Vì ∆ABD vuông tại A nên $AB=BD\cdot \text{cos}\widehat{ABD}.$

Suy ra $BD=\frac{AB}{\text{cos}\widehat{ABD}}\approx \frac{545}{\text{cos}27°{31}^{\text{'}}}\approx 615\text{ (m).}$

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí D khoảng 615 mét.

Bài 26 trang 89 SBT Toán 9 Tập 1: Flycam là từ viết tắt của Fly camera. Đây là thiết bị bay không người lái có lắp camera hay máy ảnh để quay phim hoặc chụp ảnh từ trên cao. Một chiếc Flycam đang ở vị trí A cách cây cầu BC (theo phương thẳng đứng) một khoảng AH = 120 m. Biết góc tạo bởi phương AB, AC với các phương vuông góc với mặt cầu tại B, C lần lượt là $\widehat{ABx}=30°,\widehat{ACy}=45°$ (Hình 26). Tính độ dài BC của cây cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Lời giải:

Do AH ⊥ HC, Bx ⊥ HC tại B, Cy ⊥ HC tại C nên AH // Bx // Cy.

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{ABx}=30°$ và $\widehat{CAH}=\widehat{ACy}=45°$ (các cặp góc ở vị trí so le trong).

Vì ∆ABH vuông tại H nên

$BH=AH\cdot \text{tan}\widehat{BAH}=120\cdot \text{tan}30°=120\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}\text{ (m).}$

Vì ∆ACH vuông tại H nên

$CH=AH\cdot \text{tan}\widehat{CAH}=120\cdot \text{tan}45°=120\cdot 1=120\text{ (m).}$

Khi đó $BC=CH-BH=120-40\sqrt{3}\approx 50,72\text{ (m).}$

Vậy độ dài của cây cầu khoảng 50,72 mét.

Xem thêm các bài giải Sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Ước lượng khoảng cách

Từ xưa, người ta đã biết cách ứng dụng lượng giác để ước lượng khoảng cách. Bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có thể ước lượng khoảng cách giữa hai vị trí khi khó đo trực tiếp khoảng cách giữa hai vị trí đó.

Ví dụ 1. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B, C khi không thể đo trực tiếp (Hình a), người ta có thể làm như sau (Hình b):

– Sử dụng giác kế (một loại dụng cụ để đo góc, xem hình dưới), chọn điểm A ở vị trí thích hợp sao cho góc ACB là góc vuông. Đo khoảng cách AC;

– Sử dụng giác kế để đo góc BAC;

– Từ đó, tính khoảng cách BC.

a) Theo cách làm trên, nêu công thức tính khoảng cách giữa hai vị trí B, C.

b) Tính khoảng cách giữa hai vị trí B, C, biết AC = 5 m và $\widehat{BAC}=72°$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại C nên BC = AC.tanA.

b) Ta có AC = 5 m và $\widehat{BAC}=72°$.

Suy ra BC = 5.tan72° ≈ 15,39 (m)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C bằng khoảng 15,39 m.

Ví dụ 2. Tia nắng mặt trời tạo với phương thẳng đứng một góc 56° và tháp cao 58 m (hình vẽ). Tính chiều dài của bóng tháp trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Tam giác OAB vuông tại A nên:

$OA=AB\cdot \tan \widehat{OBA}=58\cdot \tan 56°\approx 86$ (m).

Vậy chiều dài của bóng tháp bằng khoảng 86 m.

2. Ước lượng chiều cao

Ví dụ 3. Để ước lượng chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh tháp, người ta sử dụng giác kế, thước cuộn, máy tính cầm tay.

Chẳng hạn, ở hình vẽ trên, để đo chiều cao AD của tháp, người ta đặt giác kế tại một điểm quan sát cách chân tháp một khoảng CD = OB = a, trong đó chiều cao của điểm đặt giác kế là OC = b. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm thanh này ta nhìn thấy đỉnh A của tháp, đọc trên giác kế số đo α của góc AOB.Tính chiều cao của tháp, biết α = 54°; b = 22,31 m; a = 106 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hướng dẫn giải

Vì tam giác OAB vuông tại B nên:

$AB=OB\cdot \tan \widehat{AOB}=106\cdot \tan 54°\approx 145,90$ (m).

Vậy chiều cao của tháp khoảng 145,90 + 22,31 = 168,21 (m).

Ví dụ 4. Một người đứng cách tòa nhà một khoảng 10 m. Góc nâng từ chỗ người đó đứng đến nóc nhà là 40°. Nếu người đó dịch chuyển ra xa sao cho góc nâng là 35° thì lúc đó người đó cách tòa nhà bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A nên $AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=10\cdot \tan 40°\approx 8,39$ (m).

Tam giác ABD vuông tại A nên $AD=AB\cdot \cot \widehat{ADB}\approx 8,39\cdot \cot 35°\approx 11,98$ (m).

Vậy nếu người đó dịch chuyển ra xa sao cho góc nâng là 35° thì lúc đó người đó cách tòa nhà khoảng 11,98 m.