Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 30: Đa giác đều chi tiết sách Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán 9 Bài 30: Đa giác đều
1. Đa giác đều
– Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.
– Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho:
Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).
Lời giải:
Vì năm điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE.
Xét ∆AOB và ∆BOC có:
OA = OB, OB = OC
Do đó ∆AOB = ∆BOC (c.g.c)
Tương tự, ta sẽ chứng minh được: ∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOA.
Do đó:
⦁ AB = BC = CD = DE = EA;
⦁
⦁
Suy ra
Hay
Vậy các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau.
Lời giải:
Vì ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA.
Vì lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE = OF.
Xét ∆AOB và ∆BOC có:
OA = OB, OB = OC, AB = BC.
Do đó ∆AOB = ∆BOC (c.c.c)
Tương tự, ta sẽ chứng minh được:
∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOF = ∆OFA.
Do đó:
Mà
Suy ra nên
Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, lại có nên ∆OAB là tam giác đều. Suy ra AB = OA = OB = 2 cm và
Tương tự, ta chứng minh được ∆OAF là tam giác đều nên
Khi đó hay
Do đó, vì ABCDEF là lục giác đều nên các góc bằng nhau và bằng 120°.
Vậy độ dài các cạnh của lục giác đều bằng 2 centimét và số đo các góc của lục giác đều bằng 120°.
Lời giải:
⦁ Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA (1) và
Vì M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và EA nên
Từ (1) và (2) suy ra MA = MB = NB = NC = PC = PD = QD = QE = KE = KA.
Xét ∆AKM và ∆BMN có:
AK = BM, AM = BN
Do đó ∆AKM = ∆BMN (c.g.c)
Suy ra KM = MN (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng). (3)
Tương tự, sẽ ta chứng minh được:
∆AKM = ∆BMN = ∆CNP = ∆DPQ = ∆EQK.
Suy ra KM = MN = NP = PQ = QK. (8)
⦁ Xét ∆AKM có AK = AM nên ∆AKM cân tại A, suy ra
Từ (3) và (4) suy ra
Chứng minh tương tự như trên ta có:
Ta có
Suy ra nên
Tương tự, ta chứng minh được:
Từ (5), (6) và (7) suy ra
Từ (8) và (9) suy ra MNPQK có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Vậy MNPQK là ngũ giác đều.
Lời giải:
Cách 1:
Giả sử ABCDEGHK là bát giác đều nội tiếp đường tròn (O).
Do đó AB = BC = CD = DE = EG = GH = HK và OA = OB = OC = OD = OE = OG = OH = OK.
Xét ∆OAB và ∆OBC có:
OA = OB, OB = OC, AB = BC
Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).
Tương tự, ta sẽ chứng minh được:
∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOG = ∆GOH = ∆HOK = ∆KOA.
Suy ra các góc tương ứng bằng nhau:
Ta có:
Suy ra nên
Lại có (tổng ba góc của ∆OAB bằng 180°)
Suy ra
Vì ∆AOB = ∆OKA nên (hai góc tương ứng).
Suy ra
Do đó, vì ABCDEGHK là bát giác đều nên các góc bằng nhau và bằng 135°.
Cách 2:
Bát giác đều ABCDEGHK được chia thành ba tứ giác ABCD, ADEG và AGHG.
Ta thấy tổng số đo các góc của bát giác ABCDEGHK bằng tổng số đo các góc của ba tứ giác kể trên.
Mà mỗi tứ giác có tổng số đo các góc bằng 360°, do đó tổng số đo các góc của bát giác đều ABCDEGHK là: 3.360° = 1 080°.
Vì ABCDEGHK là bát giác đều nên 8 góc của bát giác bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng
Vậy mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng 135°.
2. Phép quay
Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O. Hai điểm A, B có cùng nằm trên một đường tròn tâm O hay không?
Lời giải:
Khi quay bàn xoay thì khoảng cách từ tâm O đến chiếc cốc không thay đổi nên OA = OB. Do đó khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O bằng nhau.
Vì OA = OB nên hai điểm A, B cùng nằm trên đường tròn tâm O.
Lời giải:
Vì tam giác ABC đều nên AB = BC = CA.
Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC.
Xét ∆OAB và ∆OBC có:
OA = OB, OB = OC, AB = BC
Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Vì vậy, nếu quay bàn xoay thuận chiều quay của kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), điểm A di chuyển đến vị trí của điểm B và sẽ di chuyển trên cung tròn AB của đường tròn (O).
Khi đó, tia OB di chuyển trùng với tia OC (ở vị trí ban đầu), tia OC di chuyển trùng với tia OA (ở vị trí ban đầu). Vậy điểm C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm A.
Câu hỏi trang 88 Toán 9 Tập 2:
a) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm A thành điểm A’. Hỏi điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O hay không?
b) Nếu phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều α° tâm O có biến điểm B thành điểm A hay không?
Lời giải:
a) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm A thành điểm A’.
Khi đó A’ thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OA’, điểm A tạo nên cung AA’ có số đo 180°.
Suy ra OA’ = OA và hay ba điểm A, O, A’ thẳng hàng.
Vậy O là trung điểm của AA’ hay điểm A’ có đối xứng với điểm A qua O.
b) Phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm B.
Khi đó điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo α°.
Suy ra OB = OA và
Do đó điểm A thuộc đường tròn (O; OB) và tia OB quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OA, điểm B tạo nên cung BA có số đo α°.
Vậy phép quay ngược chiều α° tâm O có biến điểm B thành điểm A.
Luyện tập 2 trang 88 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.50.
a) Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến các điểm A, B, C, D thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông ABCD không?
b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay khác với tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD.
Lời giải:
a) Phép quay thuận chiều 90° với tâm O biến các điểm A, B, C, D thành các điểm tương ứng là B, C, D, A.
Phép quay này giữ nguyên hình vuông ABCD.
b) Ta có ba phép quay tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD:
⦁ Phép quay thuận chiều 180° tâm O;
⦁ Phép quay thuận chiều 270° tâm O;
⦁ Phép quay thuận chiều 360° tâm O.
Thực hành trang 88 Toán 9 Tập 2: Cho điểm O và điểm A khác điểm O (H.9.51).
Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành điểm A’: Xác định điểm A’ theo hướng dẫn sau: Vẽ đường tròn (O; OA) và tia Ox sao cho tia Ox cắt đường tròn (O; OA) tại điểm A’ (H.9.51).
Lời giải:
HS thực hiện theo hướng dẫn của GV và SGK.
Lời giải:
Giả sử lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).
Vì lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE = OF.
Vì ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA.
Xét ∆OAB và ∆OBC có:
OA = OB, OB = OC, AB = BC.
Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).
Chứng minh tương tự ta có
∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOF = ∆FOA.
Suy ra
Mà
Do đó
Suy ra
Khi đó phép quay ngược chiều 72° tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo 60°.
Vậy mỗi phép quay thuận chiều 60° tâm O ở mỗi đỉnh A, B, C, D, E, F sẽ giữ nguyên lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm O.
Bài tập
Lời giải:
Hình b là hình vuông, hình d là hình lục giác đều vì hai hình đều có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Lời giải:
Phép quay thuận chiều 60° tâm O biến điểm M thành điểm N tức là điểm N thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận kim đồng hồ đến tia ON và điểm M tạo nên cung MN có số đo là 60°.
Trong các hình đã cho, hình d là hình cần tìm.
Lời giải:
Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2 cm nên ta có OA = OB = OC = 2 cm.
Vì ABC là tam giác đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trọng tâm của tam giác.
Gọi H là giao điểm của AO và BC. Khi đó AH vừa là đường trung trực, vừa đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác.
Do đó suy ra
Vì ∆ABC đều nên
Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:
Vì AH là đường trung tuyến của ∆ABC nên H là trung điểm của BC, do đó BC = 2BH = 2 (cm)
Vậy các cạnh của tam giác ABC có độ dài bằng 2 cm.
Lời giải:
⦁ Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MA = MB = AB; NB = NC = BC; PC = PD = CD; QD = QA = DA.
Do đó AM = MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AB. (1)
Xét ∆ABD có AB = AD nên ∆ABD cân tại A, lại có nên ∆ABD là tam giác đều. Do đó AB = BD (2) và
Lại có M, Q là lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD và MQ = BD. (3)
Chứng minh tương tự, ta cũng có NP = BD. (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra MB = BN = NP = PD = DQ = QM.
⦁ Vì MQ // BD nên (so le trong).
Mà (hai góc kề bù)
Suy ra
Tương tự, ta có
Tam giác BCD có BC = CD và (tính chất hình thoi) nên ∆BCD là tam giác đều. Do đó
Ta có
Khi đó,
Như vậy MBNPDQ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Vậy MBNPDQ là lục giác đều.
Lời giải:
⦁ Vì ∆ABC là tam giác đều nên
Xét đường tròn (O) có lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB nên suy ra
⦁ Vì phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành các điểm D nên điểm D nằm trên đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OD thì điểm A tạo nên cung AD có số đo 60°.
Khi đó ta có OA = OD và nên ∆OAD là tam giác đều.
Suy ra AD = OA = OD và
⦁ Mặt khác, (hai góc kề nhau)
Nên
Xét ∆BOD có OB = OD (cùng bằng OA) và nên ∆BOD là tam giác đều.
Do đó BD = OB = OD và
Từ (1) và (2) ta có AD = DB và
Tương tự, ta sẽ chứng minh được:
AD = DB = BE = EC = CF = FA và
Vậy ADBECF có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng 120° nên là một lục giác đều.
Lời giải:
Giả sử ABCDE là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).
Vì ngũ giác ABCDE nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE.
Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.
Xét ∆OAB và ∆OBC có:
OA = OB, OB = OC, AB = BC.
Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).
Chứng minh tương tự ta có
∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOA.
Suy ra
Mà
Do đó
Suy ra
Khi đó phép quay ngược chiều 72° tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo 72°.
Vậy mỗi phép quay ngược chiều 72° tâm O ở mỗi đỉnh A, B, C, D, E sẽ giữ nguyên ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.
Lời giải:
Giả sử 8 cabin tạo thành một bát giác đều ABCDEGHK nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).
Vì bát giác ABCDEGHK nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE = OG = OH = OK.
Vì ABCDEGHK là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EG = GH = HK = KA.
Xét ∆OAB và ∆OBC có:
OA = OB, OB = OC, AB = BC.
Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).
Chứng minh tương tự ta có
∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOG = ∆GOH = ∆HOK = ∆KOA.
Suy ra
Mà
Do đó
Suy ra
Khi đó
Để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất (vị trí của cabin G ban đầu) thì tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OG, điểm A tạo nên cung AG có số đo 135°.
Vậy để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm có số đo là 135°.
Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Đa giác đều
1. Đa giác đều
1.1. Đa giác
Đa giác A1A2...An (n ≥ 3, n ∈ ℕ) là một hình gồm n đoạn thẳng A1A2, A2A3, ..., An – 1An, AnA1 sao cho mỗi điểm A1, A2, ..., An là điểm chung của đúng hai đoạn thẳng và không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng. Trong đa giác A1A2...An, các điểm A1, A2, ..., An là các đỉnh, các đoạn thẳng A1A2, A2A3, ..., An – 1An, AnA1 là các cạnh.
Chẳng hạn, những hình như hình dưới đây được gọi chung là các đa giác.
⦁ Đa giác ABCDE (Hình a) là hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác ABCDE có năm đỉnh là các điểm A, B, C, D, E; năm cạnh là các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA và năm góc là các góc EAB, ABC, BCD, CDE, DEA.
⦁ Nếu với một cạnh bất kì của đa giác, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong Hình a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong Hình c không phải đa giác lồi.
1.2. Đa giác đều
Định nghĩa: Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Chú ý: Các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.
Ví dụ 1. Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học:
Ví dụ 2. Cho đường tròn (O; R). Lấy các điểm A, B, C, D, E, F trên đường tròn (O; R) sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác ABCDEF có phải là đa giác đều không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Ta có các cung chia đường tròn (O; R) thành sáu cung bằng nhau.
Suy ra mỗi cung có số đo bằng
Ta có là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB.
Suy ra
Tam giác AOB, có: OA = OB = R và nên tam giác AOB đều.
Do đó AB = OA = R và (1)
Chứng minh tương tự, ta được BC = OB = R và (2)
Từ (1), (2), ta suy ra AB = BC = R và
Chứng minh tương tự, ta thu được đa giác ABCDEF có các cạnh đều bằng R và các góc đều bằng 120°.
Vậy đa giác ABCDEF là một đa giác đều.
2. Phép quay
2.1. Khái niệm phép quay
Khái niệm: Phép quay thuận chiều α° (0° < α° < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều quay của kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo α° (Hình a). Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều α° tâm O (Hình b).
Chú ý: Phép quay 0° và phép quay 360° giữ nguyên mọi điểm.
Ví dụ 3. Cho hình lục giác đều A1A2A3A4A5A6 có tâm O. Chỉ ra phép quay tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.
Hướng dẫn giải
Do A1A2A3A4A5A6 là hình lục giác đều nên ba đường chéo A1A4, A2A5, A3A6 cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Điểm đối xứng của mỗi điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 theo thứ tự là A4, A5, A6, A1, A2, A3.
Vậy các phép quay tâm O biến mỗi điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 thành điểm đối xứng với nó qua tâm O là:
– Phép quay thuận chiều 180° tâm O;
– Phép quay ngược chiều 180° tâm O.
2.2. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều
Khái niệm phép quay giữ nguyên hình đa giác đều: Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều ℋ nếu phép quay đó biến mỗi điểm của ℋ thành một điểm của ℋ.
Kết quả: Nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều ℋ thành các đỉnh của ℋ thì phép quay đó giữ nguyên ℋ.
Ví dụ 4. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O (như hình vẽ).
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm nào?
b) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE.
Hướng dẫn giải
a) Năm đỉnh A, B, C, D, E của ngũ giác đều ABCDE chia đường tròn (O) thành năm cung bằng nhau, mỗi cung có số đo bằng
Suy ra phép quay thuận chiều 72° tâm O biến điểm A thành điểm B.
Vậy phép quay thuận chiều 72° tâm O biến các điểm B, C, D, E theo thứ tự thành các điểm C, D, E, A.
b) Có 10 phép quay giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE là:
– Năm phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 72°, 144°, 216°, 288°, 360°.
– Năm phép quay ngược chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 72°, 144°, 216°, 288°, 360°.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
