Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải SBT Toán 8 trang 67

Bài 21 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng AE, EC;

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d) Diện tích tam giác DOE.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AC² + AB² = 6² + 8² = 100, suy ra BC = 10 (cm).

Xét ∆ABC có BE là phân giác góc ABC nên $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ (tính chất đường phân giác).

Suy ra $\frac{AE}{4}=\frac{EC}{5}=\frac{AE+EC}{4+5}=\frac{AC}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Vậy $AE=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ (cm); $EC=5\cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{3}$ (cm).

b) Kẻ OH ⊥ AC tại H. Khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AC là độ dài đoạn thẳng OH.

Ta có OH ⊥ AC, AB ⊥ AC nên OH // AB.

Xét ∆ABE với OH // AB, ta có: $\frac{HO}{AB}=\frac{EO}{EB}$ (định lí Thalès) (1).

Xét ∆AEB có AO là phân giác của góc CAB nên $\frac{OE}{OB}=\frac{AE}{AB}=\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{OE}{OB+OE}=\frac{1}{3+1}$ hay $\frac{EO}{EB}=\frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\frac{HO}{AB}=\frac{1}{4}$, suy ra $OH=\frac{1}{4}\cdot AB=\frac{1}{4}\cdot 8=2$ (cm).

c) Kẻ DK ⊥ AC, DI ⊥ AB, suy ra $\widehat{DKA}=\widehat{DIA}=90°.$

Tứ giác AKDI có $\widehat{DKA}=\widehat{DIA}=\widehat{KAI}=90°$ nên AKDI là hình chữ nhật

Lại có đường chéo AD là phân giác $\widehat{KAI}$ nên AKDI là hình vuông.

Suy ra AK = DK = DI.

Ta có S_∆ABC = S_∆ADC + S_∆ADB nên $\frac{AC\cdot AB}{2}=\frac{AC\cdot DK}{2}+\frac{AB\cdot DI}{2}$

Hay AC.AB = AC.DK + AB.DI = (AB + AC).DK (do DK = DI).

Từ đó, ta có: $DK=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}=\frac{8\cdot 6}{8+6}=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}.$

Xét ∆AKC vuông tại K có AD² = AK² + DK² (định lí Pythagore)

Suy ra AD² = AK² + DK² = DK² + DK² = 2DK²

Do đó $AD=DK\sqrt{2}=\frac{24\sqrt{2}}{7}\approx 4,8$ (cm).

d) Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$ (cm²).

Mà $\frac{S_{\Delta BCE}}{S_{\Delta BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BA\cdot EC}{\frac{1}{2}BA\cdot AC}=\frac{EC}{AC}=\frac{10}{3}:6=\frac{5}{9}$

Do đó $S_{\Delta BCE}=\frac{5}{9}\cdot S_{\Delta BAC}=\frac{5}{9}\cdot 24=\frac{40}{3}$ (cm²).

Tương tự, ta có: $\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta BCE}}=\frac{DB}{CB}$

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác của góc CAB nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AB}{AC+AB}$ hay $\frac{DB}{CB}=\frac{8}{8+6}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$

Nên $\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta BCE}}=\frac{DB}{CB}=\frac{4}{7}.$

Suy ra $S_{\Delta \text{BDE }}=\frac{4}{7}{S}_{\Delta BCE}=\frac{4}{7}\cdot \frac{40}{3}=\frac{160}{21}$ (cm²)

Lại có $\frac{S_{\Delta ODE}}{S_{\Delta BDE}}=\frac{OE}{BE}=\frac{1}{4}$

Suy ra $S_{\Delta DOE}=\frac{1}{4}\cdot S_{\Delta BDE}=\frac{1}{4}\cdot \frac{160}{21}=\frac{40}{21}$ (cm²).

Bài 22 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 74 cm. Đường phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC tỉ lệ với 2 và 3, đường phân giác của góc C chia cạnh AB thành hai đoạn EB và EA tỉ lệ với 4 và 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Trong ∆ABC có:

AD là phân giác góc A nên $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{AB}{2}=\frac{AC}{3}$ hay $\frac{AB}{10}=\frac{AC}{15}$ (1)

CE là phân giác góc C nên $\frac{CB}{CA}=\frac{EB}{EA}=\frac{4}{5}$, suy ra $\frac{BC}{4}=\frac{AC}{5}$ hay $\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{AB}{10}=\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AB}{10}=\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}=\frac{AB+BC+AC}{10+12+15}=\frac{74}{37}=2.$

Vậy: AB = 2.10 = 20 cm;

BC = 2.12 = 24 cm;

AC = 2.15 = 30 cm.

Bài 23 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Chứng minh:

a) $\frac{BE}{ED}=\frac{AF}{FC};$

b) EF // AB.

Lời giải:

a) Tam giác ABD có AE là đường phân giác của góc A nên $\frac{EB}{ED}=\frac{AB}{AD}$ (1).

Tam giác ABC có BF là đường phân giác của góc B nên $\frac{FA}{FC}=\frac{BA}{BC}$ (2).

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, do đó $\frac{AB}{AD}=\frac{BA}{BC}$ (3)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{EB}{ED}=\frac{FA}{FC}.$

b) Ta có: $\frac{EB}{ED}=\frac{FA}{FC}$ suy ra $\frac{EB+ED}{ED}=\frac{FA+FC}{FC}$ hay $\frac{BD}{ED}=\frac{AC}{FC}$

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD nên BD = 2OD và AC = 2OC.

Do đó $\frac{2OD}{ED}=\frac{2OC}{FC}$ hay $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}.$

Xét ∆ODC có $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}$ nên EF // CD (định lí Thalès đảo)

Mà AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó EF // AB.

Giải SBT Toán 8 trang 68

Bài 24 trang 68 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD và AB = 6 cm, AC = 9 cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt cạnh AC tại E. Tính độ đài của đoạn thẳng DE.

Lời giải:

Ta có E nằm trên đường trung trực của đoạn AD nên EA = ED, do đó tam giác AED cân tại E.

Suy ra $\widehat{EDA}=\widehat{EAD}.$

Mà $\widehat{EAD}=\widehat{DAB}$ (do AD là đường phân giác của tam giác ABC)

Do đó $\widehat{EDA}=\widehat{DAB}$

Lại có hai góc $\widehat{EDA},\widehat{ DAB}$ở vị trí so le trong nên DE // AB.

Xét ∆ABC với DE // AB, ta có $\frac{ED}{AB}=\frac{CD}{CB}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mặt khác, do AD là đường phân giác của góc BAC nên $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Nên $\frac{DC}{DC+DB}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$

Suy ra $\frac{DC}{BC}=\frac{3}{5}$, do đó $\frac{ED}{AB}=\frac{3}{5}$

Vậy $DE=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}\cdot 6=3,6$ (cm).

Bài 25 trang 68 SBT Toán 8 Tập 2: Một người đứng ở vị trí M trên cây cầu bắc qua con kênh quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, D lần lượt là chân hai cột đèn trồng ở bờ kênh và chân cầu (Hình 26). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, D thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, D, tức là $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$. Người đó muốn ước lượng tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó. Hỏi có thể ước lượng tỉ số đó được hay không?

Lời giải:

Ta có $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$ suy ra MD là đường phân giác của góc AMB.

Do đó $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}.$

Vậy người đó có thể ước lượng được tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng cách đo các khoảng cách DA, DB và tính $\frac{DA}{DB}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác: