Sách bài tập Toán 8 Bài 5 (Cánh diều): Tam giác đồng dạng

Admin Vietjack Ngày: 23-09-2024 Lớp 8

1.7 K

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

Giải SBT Toán 8 trang 67

Bài 26 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm khẳng định sai:

a) Nếu ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC thì ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’.

b) Nếu ∆A’’B’’C’’ ᔕ ∆A’B’C’ và ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC thì $\hat{A} = \hat{A^{''}}; \hat{B} = \hat{B^{''}}; \hat{C} = \hat{C^{''}} .$

c) Nếu ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC thì chu vi tam giác ABC bằng nửa chu vi tam giác A’B’C’.

d) Nếu ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ thì $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A^{'}} .$

Lời giải:

Phát biểu c) là sai.

Vì nếu ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC với tỉ số đồng dạng k thì ta có:

k = $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A^{'}} = \frac{A B + B C + C A}{A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} + C^{'} A^{'}}$ = $\frac{Chu vi tam giác A B C}{Chu vi tam giác A^{'} B^{'} C^{'}}$

(tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó tỉ số của chu vi tam giác ABC và chu vi tam giác A’B’C’ bằng tỉ số đồng dạng.

Bài 27 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là 3. Tính các cạnh AB, BC, CA, biết $\frac{A^{'} B^{'}}{3} = \frac{B^{'} C^{'}}{7} = \frac{A^{'} C^{'}}{5}$ và A’B’ + B’C’ + C’A’ = 30 (cm).

Lời giải:

Do ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là 3 nên $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A^{'}} = 3$

Hay AB = 3A’B’, BC = 3B’C’, CA = 3C’A’ (1)

Mặt khác, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{A^{'} B^{'}}{3} = \frac{B^{'} C^{'}}{7} = \frac{A^{'} C^{'}}{5} = \frac{A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} + A^{'} C^{'}}{15} = \frac{30}{15} = 2$

Suy ra A’B’ = 3.2 = 6 (cm), B’C’ = 7.2 = 14 (cm), A’C’ = 5.2 = 10 (cm) (2)

Từ (1) và (2), ta có: AB = 3.6 = 18 (cm);

BC = 3.14 = 42 (cm);

CA = 3.10 = 30 (cm).

Bài 28 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 28 biết $\hat{A M N} = \hat{A B C}, \hat{B A C} = \hat{B M L} .$

a) Chứng minh: ∆AMN ᔕ ∆MBL.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC.

Quan sát Hình 28 biết góc AMN = góc ABC, góc BAC = góc BML

Lời giải:

a) Vì $\hat{A M N} = \hat{A B C}$ và 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Do đó ∆AMN ᔕ ∆ABC (1).

Vì $\hat{B A C} = \hat{B M L}$ và 2 góc này ở vị trí đồng vị nên ML // AC.

Do đó ∆MBL ᔕ ∆ABC (2).

Từ (1), (2) ta có ∆AMN ᔕ ∆MBL.

b) Giả sử ∆AMN ᔕ ∆ABC với tỉ số đồng dạng k, ta có: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = k .$

Suy ra $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ = $\frac{A M + A N + M N}{A B + A C + B C} = k$ hay $\frac{Chu vi tam giác A M N}{Chu vi tam giác A B C} = k .$

Do đó, để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC thì $A M = \frac{2}{3} A B .$

Ngược lại, dễ thấy nếu $A M = \frac{2}{3} A B$ thì chu vi tam giác ABC bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC.

Vậy vị trí của điểm M trên cạnh AB để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC là $A M = \frac{2}{3} A B .$

Bài 29 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm D, E ở hai bên bờ của một con sông, người ta chọn các vị trí A, B, C ở cùng một bên bờ với điểm D và đo được AB = 2 m, AC = 3 m, CD = 15 m (Hình 29), Giả sử ∆ABC ᔕ ∆DEC.

Tính khoảng cách DE.

Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm D, E ở hai bên bờ của một con sông

Lời giải:

Vì ∆ABC ᔕ ∆DEC nên $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D C}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay $\frac{2}{D E} = \frac{3}{15}$

Do đó $D E = \frac{2 \cdot 15}{3} = 10$ (m).

Bài 30 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng DC lần lượt tại M và N. Các đường thẳng NA, MB cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: ∆KAB ᔕ ∆KNM; ∆CEM ᔕ ∆DAM; ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) So sánh CM.DN và AB².

c) Các điểm E, F lấy ở vị trí nào trên các cạnh BC, AD thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD

a) Do ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD // BC.

M, N ∈ CD nên AB // MN.

E ∈ BC, F ∈ AD nên CE // AD, DF // BC.

• Vì AB // MN nên ∆KAB ᔕ ∆KNM;

• Vì CE // AD nên ∆CEM ᔕ ∆DAM;

• Vì DF // BC nên ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) Vì AB // CM nên ∆CEM ᔕ ∆BEA, do đó $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E}$ (1).

Vì AB // ND nên ∆NDF ᔕ ∆BAF, do đó $\frac{D F}{A F} = \frac{N D}{B A}$ hay $\frac{A F}{D F} = \frac{B A}{D N}$ (2).

Từ (1), (2) và CE = AF, BE = DF, ta có $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E} = \frac{A F}{D F} = \frac{B A}{D N} .$

Hay $\frac{C M}{B A} = \frac{B A}{D N}$ nên CM.DN = AB².

c) Ta có (CM ‒ DN)² ≥ 0

Suy ra (CM² + 2.CM.DN + DN² ‒ 4.CM.DN) ≥ 0

Do đó (CM + DN)² ≥ 4CM.DN.

Hay $C M + D N \geq 2 \sqrt{C M \cdot D N} = 2 \sqrt{A B^{2}} = 2 A B$

Do đó MN = MC + CD + DN ≥ 3AB (vì AB = CD)

Dấu "=" xảy ra khi CM = DN = AB = a.

Khi đó, $\frac{C M}{B A} = \frac{C E}{B E} = 1$ nên E là trung điểm của BC. Tương tự, lúc này F là trung điểm của AD.

Vậy MN có độ dài nhỏ nhất bằng 3AB khi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Lý thuyết Tam giác đồng dạng

1. Tam giác đồng dạng

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\hat{A^{'}} = \hat{A}, \hat{B^{'}} = \hat{B}, \hat{C^{'}} = \hat{C}$ và $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$

Kí hiệu: $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k = \frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ là tỉ số đồng dạng của $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ với $Δ A B C$ .