Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải SBT Toán 8 trang 48

Bài 1 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Cho biết DB = 15cm, DC = 20 cm Tính độ dài AB, AC.

Lời giải:

Ta có AD là phân giác của $\widehat{BAC}$ trong ∆ABC, suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

Suy ra $\frac{15}{20}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{AB}{15}=\frac{AC}{20}$.

Suy ra $\frac{A{B}^2}{225}=\frac{A{C}^2}{400}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{225+400}=\frac{B{C}^2}{625}$ (áp dụng định lí Pythagore trong ∆ABC vuông).

Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35 (cm).

Nên $\frac{A{B}^2}{225}=\frac{A{C}^2}{400}=\frac{{35}^2}{625}=\frac{49}{25}$.

Suy ra  AB² = $\frac{49.225}{25}$ =  441 và AC² = $\frac{49.400}{25}$ = 784.

Vậy AB = 21 cm; AC = 28 cm.

Bài 2 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D, tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt BC tại E. Tính độ dài DB, DC, EB.

Lời giải:

• Vì AD là phân giác của $\widehat{BAC}$ trong ∆ABC nên ta có

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DB}{2}=\frac{DC}{3}=\frac{DB+DC}{2+3}=\frac{BC}{5}=\frac{10}{5}$ = 2.

Suy ra $\frac{DB}{2}$ = 2 và $\frac{DC}{3}$ = 2.

Do đó DB = 4 cm; DC = 6 cm.

• Vì AE là phân giác ngoài tại đỉnh A của ∆ABC nên ta có

$\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{EC}{3}=\frac{EB}{2}=\frac{EC-EB}{3-2}=\frac{BC}{1}$ = 10.

Do đó $\frac{EB}{2}$ = 10 suy ra EB = 20 cm.

Vậy DB = 4 cm, DC = 6 cm, EB = 20 cm.

Bài 3 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+BC+CA}$;

b) $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}$ = 1.

Lời giải:

a) • Vì BI là phân giác của $\widehat{ABC}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{IA}{ID}=\frac{AB}{BD}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{IA}{AB}=\frac{ID}{BD}=\frac{IA+ID}{AB+BD}=\frac{AD}{AB+BD}$ suy ra $\frac{ID}{AD}=\frac{BD}{AB+BD}$        (1)

• Vì CI là phân giác của $\widehat{ACB}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{IA}{ID}=\frac{CA}{CD}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{IA}{CA}=\frac{DI}{CD}=\frac{IA+ID}{CA+CD}=\frac{DA}{CA+CD}$ suy ra $\frac{DI}{AD}=\frac{CD}{CA+CD}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{BD}{AB+BD}=\frac{CD}{CA+CD}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{BD}{AB+BD}=\frac{CD}{CA+CD}$$=\frac{BD+CD}{AB+BD+CA+CD}$$=\frac{BC}{AB+BC+CA}$    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{DI}{DA}=\frac{BC}{AB+BC+CA}$.

b) Tượng tự câu a) ta có: $\frac{EI}{EB}=\frac{CA}{AB+BC+CA}$và $\frac{FI}{FC}=\frac{AB}{AB+BC+CA}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}$ = $\frac{BC}{AB+BC+CA}$ + $\frac{CA}{AB+BC+CA}$ + $\frac{AB}{AB+BC+CA}$

= $\frac{AB+BC+CA}{AB+BC+CA}$ = 1.

Bài 4 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD có tia phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại M và phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại N. Chứng minh MN // AD.

Lời giải:

Gọi G là giao điểm của AC và BD.

• Vì DN là phân giác của $\widehat{ADC}$ trong ∆ADC nên $\frac{NA}{NC}=\frac{AD}{DC}$.

• Vì AM là phân giác của $\widehat{BAD}$ trong ∆ABD nên $\frac{MD}{MB}=\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AD}{DC}$ (vì AB = DC).

Suy ra $\frac{MD}{MB}=\frac{NA}{NC}$.

Do đó $\frac{NA}{MD}=\frac{NC}{MB}=\frac{NA+NC}{MD+MB}=\frac{AC}{BD}=\frac{AG}{DG}$ (AC = 2AG; BD = 2BG)

Khi đó $\frac{NA}{AG}=\frac{MD}{DG}$.

Xét ∆AGD có $\frac{NA}{AG}=\frac{MD}{DG}$ nên theo định lí Thalès đảo, ta có MN // AD.

Bài 5 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A. Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ cắt AC tại D. Cho biết BC= 10 cm, AB = 15 cm. Tính DA, DC.

Lời giải:

Vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$ trong ∆ABC nên $\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DA}{3}=\frac{DC}{2}=\frac{DA+DC}{3+2}=\frac{AC}{5}$.

Mà ∆ABC cân ở A nên AC = AB = 15 cm.

Suy ra $\frac{DA}{3}=\frac{DC}{2}=\frac{15}{5}$ = 3.

Do đó DA = 3.3 = 9 (cm) và DC = 3.2 = 6 (cm).

Vậy DA = 9 cm, DC = 6 cm.

Bài 6 trang 48 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM (M ∈ BC). Tia phân giác của $\widehat{AMB}$ cắt AB tại D, tia phân giác của $\widehat{AMC}$ cắt AC tại E.

a) Chứng minh DE // BC;

b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng mình I là trung điểm của DE.

Lời giải:

a) Vì MD là phân giác của $\widehat{AMB}$ trong ∆ABM nên $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$.

Vì ME là phân giác của $\widehat{AMC}$ trong ∆ABC nên $\frac{EA}{EC}=\frac{MA}{MC}$.

Mà MB = MC, suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$.

Xét ∆ABC có $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ nên theo định lí Thalès đảo, ta có DE // BC.

b) Theo hệ quả của định lí Thalès:

• Xét ∆ABM có DI // MB (vì I ∈ DE, M ∈ BC), ta có $\frac{AI}{AM}=\frac{DI}{MB}$.

• Xét ∆ACM có EI // MC, ta có $\frac{AI}{AM}=\frac{IE}{MC}$.

Suy ra $\frac{IE}{MC}=\frac{DI}{MB}$, mà MC = MB, suy ra IE = DI.

Vậy I là trung điểm của DE.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: