Sách bài tập Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 2 trang 64

Admin Vietjack Ngày: 09-11-2023 Lớp 11

888

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 64 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 64

A. TRẮC NGHIỆM

Giải SBT Toán 11 trang 64

Câu 1 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{1}{n}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Dãy số (u_n) có $u_{3} = \frac{1}{6}$ .

B. Dãy số (u_n) là dãy số tăng.

C. Dãy số (u_n) là dãy số không tăng không giảm.

D. Dãy số (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $u_{n} = \frac{1}{n}$ nên $u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1} .$

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}$ = $\frac{n - (n - 1)}{n (n + 1)} = \frac{1}{n^{2} + n} > 0, \forall n \in N * .$

Suy ra u_n+1 > u_n.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Câu 2 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn?

A. $u_{n} = \frac{1}{9^{n}}$

B. u_n = 9ⁿ.

C. $u_{n} = \sqrt{9 n + 1}$

D. u_n = n⁹.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $0 < \frac{1}{9^{n}} < 1$ với ∀n ∈ ℕ^*, suy ra 0 < u_n < 1 với ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) bị chặn.

Câu 3 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

B. $u_{n} = \frac{1}{n}$

C. $u_{n} = \frac{n + 5}{3 n + 1}$

D. $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ có $u_{n + 1} = \frac{1}{2^{n + 1}}$ , suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{2^{n + 1}} : \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2} < 1$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{n}$ có $u_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ , suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{n + 1} : \frac{1}{n} = \frac{n}{n + 1} < 1, \forall n \in ℕ * .$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{n + 5}{3 n + 1}$ có $u_{n + 1} = \frac{n + 1 + 5}{3 (n + 1) + 1} = \frac{n + 6}{3 n + 4}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 6}{3 n + 4} - \frac{n + 5}{3 n + 1} = \frac{(n + 6) (3 n + 1) - (3 n + 4) (n + 5)}{(3 n + 4) (3 n + 1)}$

$= \frac{3 n^{2} + 19 n + 6 - (3 n^{2} + 19 n + 20)}{(3 n + 4) (3 n + 1)}$ = $\frac{- 14}{(3 n + 4) (3 n + 1)} < 0, \forall n \in ℕ * .$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ có $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{(n + 1) + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{(2 n + 1) (n + 1) - (2 n - 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - (2 n^{2} + 3 n - 2)}{(n + 1) (n + 2)}$ = $\frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ * .$

Do đó u_n+1 > u_n nên dãy số này tăng.

Vậy $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ là dãy số tăng.

Câu 4 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = 3 và u₂ = ‒1. Số hạng thứ ba của cấp số cộng đó là

A. u₃ = 4.

B. u₃ = 2.

C. u₃ = ‒5.

D. u₃ = 7.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Công sai d = u₂ – u₁ = ‒1 ‒ 3 = ‒4.

Số hạng thứ 3 của cấp số cộng là: u₃ = u₂ + d = ‒1 + (‒4) = ‒5.

Câu 5 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3, công sai d = 5. Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là

A. u₄ = 23.

B. u₄ = 18.

C. u₄ = 8.

D. u₄ = 14.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là: u₄ = u₁ + 3d = 3 + 3.5 = 18.

Câu 6 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₄ = ‒12, u₁₄ = 18. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

A. S₁₆ = ‒24.

B. S₁₆ = 26.

C. S₁₆ = ‒25.

D. S₁₆ = 24.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\{\begin{cases} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 3 d = - 12 \\ u_{1} + 13 d = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \end{cases}$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

$S_{16} = \frac{16 [2 \cdot (- 21) + (16 - 1) \cdot 3]}{2} = 24$

Câu 7 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng: ‒2; ‒5; ‒8; ‒11; ‒14. Công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó lần lượt là

A. d = 3; S₂₀ = 510.

B. d = ‒3; S₂₀ = ‒610.

C. d = ‒3; S₂₀ = 610.

D. d = 3; S₂₀ = ‒610.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Công sai d = ‒5 ‒ (‒2) = ‒3.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

$S_{20} = \frac{20 [2 \cdot (- 2) + 19 \cdot (- 3)]}{2} = - 610.$

Câu 8 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có sáu số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là công bội của cấp số nhân đó. Giá trị của q là

A. 3.

B. ‒3.

C. 2.

D. ‒2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có u₆ = u₁.q⁵, suy ra 486 = 2.q⁵

Do đó q⁵ = 243 = 3⁵ nên q = 3.

Câu 9 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có bốn số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số hạng của cấp số nhân đó. Giá trị của S là

A. 390.

B. 255.

C. 256.

D. ‒256.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có u₄ = u₁.q³, suy ra 192 = 3.q³,

Do đó q³ = 64 = 4³ nên q = 4

Tổng số hạng các cấp số nhân là:

$S_{4} = \frac{u_{1} (1 - q^{4})}{1 - q} = \frac{3 (1 - 4^{4})}{1 - 4} = 255.$

Câu 10 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u_n = 7 ‒ 3n.

B. u_n = 7 ‒ 3ⁿ.

C. $u_{n} = \frac{7}{3 n}$

D. u_n = 7.3ⁿ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với u_n = 7 ‒ 3n có u₁ = 4; u₂ = 1; u₃ = −2.

Suy ra $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên (u_n) có u_n = 7 ‒ 3n không phải cấp số nhân.

⦁ Xét (u_n) với u_n = 7 ‒ 3ⁿ có u₁ = 4; u₂ = −2; u₃ = −20.

Suy ra $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên (u_n) có u_n = 7 ‒ 3ⁿ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét (u_n) với $u_{n} = \frac{7}{3 n}$ có $u_{1} = \frac{7}{3}; u_{2} = \frac{7}{6}; u_{3} = \frac{7}{9}$

Suy ra $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$ nên (u_n) có $u_{n} = \frac{7}{3 n}$ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét (u_n) với u_n = 7.3ⁿ có u_n+1 = 7.3ⁿ⁺¹

Suy ra $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 \cdot 3^{n + 1}}{7 \cdot 3^{n}} = 3$

Vậy u_n = 7.3ⁿ là cấp số nhân.

B. TỰ LUẬN

Giải SBT Toán 11 trang 65

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết

a) $u_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 3};$

b) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{2024 + n}};$

c) $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ $u_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 3} = 2 + \frac{3}{n + 3}$ , suy ra 2 < u_n < 3, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ = $\frac{\frac{1}{\sqrt{2024 + n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024 + n}}}$ = $\frac{\sqrt{2024 + n}}{\sqrt{2025 + n}} < 1$ , suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

b) Ta có:

⦁ $0 < \frac{1}{\sqrt{2024 + n}} < 1, \forall n \in ℕ^{*}$ suy ra 0 < u_n < 1, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2024 + n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024 + n}}} = \frac{\sqrt{2024 + n}}{\sqrt{2025 + n}} < 1,$ suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

c) Ta có

⦁ $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}} > 0,$ ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(n + 1)! 2^{n}}{n! 2^{n + 1}} = \frac{n + 1}{2} \geq 1,$ ∀n ∈ ℕ^* suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số tăng.

Do đó, (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành cấp số cộng. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là: a ‒ d, a, a + d với 0 < d < a.

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên a ‒ d + a + a + d = 3a = 3, suy ra a = 1.

Vì đây là tam giác vuông nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền, theo định lí Pythagore, ta có: (1 + d)² = (1 ‒ d)² + 1²

Suy ra 1 + 2d + d² = 1 – 2d + d² + 1

Do đó 4d = 1

Suy ra $d = \frac{1}{4} .$

Khi đó $a - d = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ và $a + d = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} .$

Vậy ba cạnh của tam giác có độ dài là $\frac{3}{4}; 1; \frac{5}{4}$

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Chu vi của một đa giác là 213 cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai d = 7 cm và cạnh lớn nhất bằng 53 cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Lời giải:

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ*).

Số đo các cạnh của đa giác là u₁, u₂, u₃, …, u_n (với 0 < u₁ < u₂ < … < u_n).

Khi đó ta có:

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = S_{n} = 213 \\ u_{n} = 53 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) = 213 \\ u_{1} + (n - 1) d = 53 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} n (u_{1} + 53) = 426 (1) \\ u_{1} + 7 (n - 1) = 53 (2) \end{cases}$

Từ (2) suy ra u₁ = 53 – 7(n – 1), thay vào (1) ta được

n[53 ‒ 7(n ‒ 1) + 53] = 426

⇔ n(113 ‒ 7n) = 426

⇔ 7n² – 113n + 426 = 0

⇔ n = 6 (chọn) hoặc $n = \frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh: a² ‒ c² = 2ab ‒ 2bc.

Lời giải:

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b ‒ a = c ‒ b

⇔ (b ‒ a)² = (c ‒ b)²

⇔ b² ‒ 2ab + a² = c² ‒ 2bc + b²

⇔ a² ‒ c² = 2ab ‒ 2bc.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n) có $\{\begin{array}{l} u_{3} - u_{1} = 24 \\ u_{6} - u_{4} = 3 000 \end{array} .$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công bội là q.

Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{array}{l} u_{3} - u_{1} = 24 \\ u_{6} - u_{4} = 3 000 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} \cdot q^{2} - u_{1} = 24 \\ u_{1} \cdot q^{5} - u_{1} \cdot q^{3} = 3 000 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} \cdot (q^{2} - 1) = 24 (*) \\ u_{1} \cdot q^{3} \cdot (q^{2} - 1) = 3 000 \end{cases}$

Suy ra $\frac{1}{q^{3}} = \frac{24}{3 000} \Rightarrow q^{3} = 125 \Leftrightarrow q = 5$

Thay q = 5 vào biểu thức (*) ta có: u₁(5² – 1) = 24 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1, q = 5.

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết $u_{1} = 12, \frac{u_{3}}{u_{8}} = 243$ . Tìm u₉.

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n).

Ta có u₃ = u₁.q², u₈ = u₁.q⁷, suy ra $\frac{u_{3}}{u_{8}} = \frac{u_{1} \cdot q^{2}}{u_{1} \cdot q^{7}} = \frac{1}{q^{5}} = 243$ , suy ra $q = \frac{1}{3}$

Do đó $u_{9} = u_{1} \cdot q^{8} = 12 \cdot {(\frac{1}{3})}^{8} = \frac{4}{2 187}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân: $- \frac{1}{5}; a; - \frac{1}{125}$ . Tính giá trị của a.

Lời giải:

Vì 3 số $- \frac{1}{5}; a; - \frac{1}{125}$ lập thành cấp số nhân nên ta có:

$a^{2} = (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{125}) = \frac{1}{625}$ , suy ra $a = - \frac{1}{25}$ hoặc $a = \frac{1}{25}$

Bài 8 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3, công bội q = 2. Biết S_n = 765. Tìm n.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

$S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{3 \cdot (1 - 2^{n})}{1 - 2} = 765$

⇔ 2ⁿ – 1 = 255 ⇔ 2ⁿ = 256 = 2⁸

⇒ n = 8.

Bài 9 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 6 144 m². Tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng, biết rằng diện tích mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới.

Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 6 144 m2

Lời giải:

Diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là: u₁ = 6 144 m²

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_{2} = 6 144 \cdot \frac{1}{2} = 3 072 m^{2}$

....

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 6 144 và công bội $q = \frac{1}{2}$ , có số hạng tổng quát là: $u_{n} = 6 144 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$