Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Giải SBT Toán 11 trang 90

Bài 1 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = x³ ‒ 3x + 2 tại điểm x = ‒2;

b) $f\left(x\right)=\sqrt{3x+2}$ tại điểm x = 0.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, chứa điểm ‒2.

Ta có:

⦁ f(‒2) = (‒2)³ ‒ 3.(‒2) + 2 = 0;

⦁ $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^3-3x+2\right)={\left(-2\right)}^3$ - 3.(-2) + 2 = 0.

Suy ra $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-2\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = ‒2.

b) Tập xác định của hàm số là $D=\left[-\frac{2}{3};+\infty \right),$ chứa điểm 0.

Ta có:

⦁ $f\left(0\right)=\sqrt{3\cdot 0+2}=\sqrt{2}.$

⦁ $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{3x+2}=\sqrt{\underset{x\to 0}{\lim }\left(3x+2\right) }$

$=\sqrt{3\underset{x\to 0}{\lim }x+2}=\sqrt{3\cdot 0+2}=\sqrt{2}$

Suy ra $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.

Bài 2 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm x = 2.

a) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}6-2x& \text{ khi }x\ge 2\\ 2x^2-6& \text{ khi }x<2\end{array}\right..$

b) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-4}{x-2}\text{ khi }x\ne 2\\ 0\text{ khi }x=2.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ, chứa điểm 2.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(6-2x\right)=6-2\cdot 2=2$

⦁ $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(2x^2-6\right)$ = 2 . 2⁶ - 6 = 2

⦁ f(2) = 6 ‒ 2.2 = 2.

Suy ra $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 2.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, chứa điểm 2.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=2+2=4$

⦁ f(2) = 0

Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(2\right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = 2.

Bài 3 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left(x\right)=\mathrm{|x}+\mathrm{1|}$ tại điểm x = ‒1;

b) $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left|x-1\right|}{x-1}& \text{khi }x\ne 1\\ 1& \text{khi }x=1\end{array}\right.$ tại điểm x = 1.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ, chứa điểm ‒1.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left|x+1\right|=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=-1+1=0$

⦁ $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left|x+1\right|=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left[-\left(x+1\right)\right]$$=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(-x-1\right)=1-1=0$

⦁ $f\left(-1\right)=\left|-1+1\right|=0$

Suy ra $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$

Vậy hàm số liên tục tại x = ‒1.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, có chứa điểm 1.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|x-1\right|}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }1=1$.

⦁ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left|x-1\right|}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1-x}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = ‒1.

Bài 4 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}& \text{ khi }x\ne 2\\ a& \text{ khi }x=2.\end{array}\right.$

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{x+2-4}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}=\frac{1}{4}.$

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff \frac{1}{4}=a$.

Vậy $a=\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

Bài 5 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) = x³ ‒ x² + 2;

b) $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2-4x};$

c) $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x^2-x+1};$

d) $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x}$.

Lời giải:

a) f(x) là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên nó liên tục trên ℝ.

b) Ta có: x² ‒ 4x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 4.

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {0; 4} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 0), (0; 4) và (4; +∞).

c) Ta có: $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,\forall x\in ℝ$

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định ℝ nên nó liên tục trên ℝ.

d) Ta có: x² ‒ 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 và x ≥2

f(x) là hàm số căn thức có tập xác định D = (‒∞; 0] ∪ [2; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 0] và [2; +∞).

Bài 6 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{\text{tan}x}{\sqrt{1-x^2}};$

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{\text{sin}x}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: 1 ‒ x² > 0 ⇔ ‒1 < x < 1.

Hàm số $y=\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục trên (‒1; 1).

Hàm số y = tanx xác định và liên tục trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right)$ (với k ∈ ℤ)

Do $\left(-1;1\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số y = tanx xác định và liên tục trên (‒1; 1).

Suy ra, hàm số $f\left(x\right)=\frac{\text{tan}x}{\sqrt{1-x^2}}$ liên tục trên (‒1; 1).

b) Điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ ℤ)

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $\left(\mathrm{k\pi };\left(k+1\right)\pi \right)$ với k ∈ ℤ.

Bài 7 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) = x ‒ 1 và g(x) = x² ‒ 3x + 2. Xét tính liên tục của các hàm số:

a) y = f(x).g(x);

b) $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)};$

c) $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)+g\left(x\right)}}.$

Lời giải:

a) Ta có y = f(x).g(x) = (x ‒ 1)(x² ‒ 3x + 2)

Hàm số trên là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên nó liên tục trên ℝ.

b) Ta có $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{x-1}{x^2-3x+2}$

Ta có: x² ‒ 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ 2.

Hàm số trên là hàm số phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {1; 2} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 1), (1; 2) và (2; +∞).

c) Ta có $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)+g\left(x\right)}}=\frac{1}{\sqrt{x-1+x^2-3x+2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}}$

Ta có: (x – 1)²> 0 ⇔ x ≠ 1

Hàm số trên là hàm phân thức có tập xác định D = ℝ \ {1} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 1) và (1; +∞).

Giải SBT Toán 11 trang 91

Bài 8 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2-x\text{ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }x<1\\ x^2+x\text{ khi }x\ge 1\end{array}\right.$và $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-x^2\text{ khi }x<1\\ -x^2+a\text{ khi }x\ge 1.\end{array}\right.$

Tìm giá trị của tham số a sao cho hàm số h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x = 1.

Lời giải:

Ta có: $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{ll}2+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2& \text{ khi }\mathrm{x}<1\\ \mathrm{x}+\mathrm{a}& \text{ khi }\mathrm{x}\ge 1.\end{array}\right.$

⦁ $\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}h\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(2+x-x^2\right)=2+1-1^2=2;$

⦁ $\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}h\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\left(x+a\right)=1+a;$

⦁ $h\left(1\right)=1+a.$

Hàm số h(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }h\left(x\right)=h\left(1\right)$.

$\iff 2=1+a\iff a=1$

Vậy a = 1.

Bài 9 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }\left|x\right|<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }\left|x\right|\ge 2\end{array}\right..$

Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }\left|x\right|<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }\left|x\right|\ge 2\end{array}\right.$

Suy ra: $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-2<x<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}\le -2;x\ge 2\end{array}\right..$

⦁ $\underset{x\to -2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\text{lim}}\left[x\left(2-x\right)\right]=-2\cdot \left(2+2\right)=-8=f\left(-2\right);$

⦁ $\underset{x\to -2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\text{lim}}\left(x^2+ax+b\right)=4-2a+b;$

⦁ $\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}\left(x^2+ax+b\right)=4+2a+b;$

⦁ $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}\left[x\left(2-x\right)\right]=2\cdot \left(2-2\right)=0=f\left(2\right)$

Hàm số liên tục tại x = ‒2 và x = 2 khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(-2\right)\\ \underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4-2a+b=-8\\ 4+2a+b=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-2a+b=-12\\ 2a+b=-4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-8.\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy a = 2, b = ‒8 là các giá trị cần tìm.

Bài 10 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng phương trình:

a) x³ + 2x ‒ 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (‒1; 1).

b) $\sqrt{x^2+x}+x^2=1$ có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = x³ + 2x ‒ 1 xác định trên khoảng (‒1; 1) và có:

⦁ f(‒1) = (‒1)³ + 2.(‒1) ‒ 1 = ‒4.

⦁ f(1) = 1³ + 2.1 ‒ 1 = 2.

Do f(‒1).f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 1).

b) Xét hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+x}+x^2-1$ xác định trên khoảng (0; 1) và có:

⦁ $f\left(0\right)=\sqrt{0^2+0}+0^2-1=-1$.

⦁ $f\left(1\right)=\sqrt{1^2+1}+1^2-1=\sqrt{2}$.

Do f(0).f(1) < 0nên phương trình f(x) = 0 hay $\sqrt{x^2+x}+x^2=1$ có nghiệm thuộc (0; 1).

Bài 11 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + (y ‒ 1)² = 1. Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng d: y = m với đường tròn (C). Viết công thức xác định hàm số y = Q(m). Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?

Lời giải:

$\mathrm{Ta} \mathrm{có}: \mathrm{Q}\mathrm{(m)} = \left\{\begin{array}{l}0 \mathrm{khi} \mathrm{m} < 0 \mathrm{hay} \mathrm{m} > 2\\ 1 \mathrm{khi} \mathrm{m} = 0 \mathrm{hay} \mathrm{m} = 2\\ 2 \mathrm{khi} 0 < \mathrm{m} < 2\end{array}\right.$

Ta có $\underset{m\to 0^{-}}{\lim }Q\left(m\right)=0;\underset{m\to 0^{+}}{\lim }Q\left(m\right)=2;f\left(0\right)=1$

nên $\underset{m\to 0^{-}}{\lim }Q\left(m\right)\ne \underset{m\to 0^{+}}{\lim }Q\left(m\right)\ne f\left(0\right)$

Do đó hàm số y = Q(m) không liên tục tại m = 0.

Ta có: $\underset{m\to 2^{-}}{\lim }Q\left(m\right)=2;$ $\underset{m\to 2^{+}}{\lim }Q\left(m\right)=0;f\left(2\right)=1$ nên $\underset{m\to 2^{-}}{\lim }Q\left(m\right)\ne \underset{m\to 2^{+}}{\lim }Q\left(m\right)\ne f\left(2\right)$

Do đó hàm số y = Q(m) không liên tục tại m = 2.

Vậy hàm số không liên tục tại các điểm m = 0 và m = 2.

Bài 12 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$.

Kí hiệu diện tích tam giác ABC là S(α) (phụ thuộc vào α). Xét tính liên tục của hàm số S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và tính các giới hạn $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right),\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại C nên với $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ta có:

⦁ AC = AB.cosα = 2cosα;

⦁ BC = AB.sinα = 2sinα;

⦁ $S\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}=\frac{1}{2}\cdot 2\text{cos}\alpha \cdot 2\text{sin}\alpha =\text{sin}2\alpha$.

Do hàm số y = sin2α đều liên tục trên ℝ, mà $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\subset ℝ$ nên hàm số y = S(α) liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Khi đó:

+) $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\text{sin}2\alpha =0;$

+) $\underset{\alpha \to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\text{lim}}\text{sin}2\alpha =0.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3