Giải SBT Toán 11 trang 65 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với lời giải SBT Toán 11 trang 65 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 2 trang 64 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 64

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết

a) $u_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 3};$

b) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{2024 + n}};$

c) $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ $u_{n} = \frac{2 n + 9}{n + 3} = 2 + \frac{3}{n + 3}$ , suy ra 2 < u_n < 3, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ = $\frac{\frac{1}{\sqrt{2024 + n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024 + n}}}$ = $\frac{\sqrt{2024 + n}}{\sqrt{2025 + n}} < 1$ , suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

b) Ta có:

⦁ $0 < \frac{1}{\sqrt{2024 + n}} < 1, \forall n \in ℕ^{*}$ suy ra 0 < u_n < 1, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2024 + n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024 + n}}} = \frac{\sqrt{2024 + n}}{\sqrt{2025 + n}} < 1,$ suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

c) Ta có

⦁ $u_{n} = \frac{n!}{2^{n}} > 0,$ ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

⦁ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(n + 1)! 2^{n}}{n! 2^{n + 1}} = \frac{n + 1}{2} \geq 1,$ ∀n ∈ ℕ^* suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số tăng.

Do đó, (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành cấp số cộng. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là: a ‒ d, a, a + d với 0 < d < a.

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên a ‒ d + a + a + d = 3a = 3, suy ra a = 1.

Vì đây là tam giác vuông nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền, theo định lí Pythagore, ta có: (1 + d)² = (1 ‒ d)² + 1²

Suy ra 1 + 2d + d² = 1 – 2d + d² + 1

Do đó 4d = 1

Suy ra $d = \frac{1}{4} .$

Khi đó $a - d = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ và $a + d = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} .$

Vậy ba cạnh của tam giác có độ dài là $\frac{3}{4}; 1; \frac{5}{4}$

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Chu vi của một đa giác là 213 cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai d = 7 cm và cạnh lớn nhất bằng 53 cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Lời giải:

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ*).

Số đo các cạnh của đa giác là u₁, u₂, u₃, …, u_n (với 0 < u₁ < u₂ < … < u_n).

Khi đó ta có:

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = S_{n} = 213 \\ u_{n} = 53 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) = 213 \\ u_{1} + (n - 1) d = 53 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} n (u_{1} + 53) = 426 (1) \\ u_{1} + 7 (n - 1) = 53 (2) \end{cases}$

Từ (2) suy ra u₁ = 53 – 7(n – 1), thay vào (1) ta được

n[53 ‒ 7(n ‒ 1) + 53] = 426

⇔ n(113 ‒ 7n) = 426

⇔ 7n² – 113n + 426 = 0

⇔ n = 6 (chọn) hoặc $n = \frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh: a² ‒ c² = 2ab ‒ 2bc.

Lời giải:

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b ‒ a = c ‒ b

⇔ (b ‒ a)² = (c ‒ b)²

⇔ b² ‒ 2ab + a² = c² ‒ 2bc + b²

⇔ a² ‒ c² = 2ab ‒ 2bc.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n) có $\{\begin{array}{l} u_{3} - u_{1} = 24 \\ u_{6} - u_{4} = 3 000 \end{array} .$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công bội là q.

Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{array}{l} u_{3} - u_{1} = 24 \\ u_{6} - u_{4} = 3 000 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} \cdot q^{2} - u_{1} = 24 \\ u_{1} \cdot q^{5} - u_{1} \cdot q^{3} = 3 000 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} \cdot (q^{2} - 1) = 24 (*) \\ u_{1} \cdot q^{3} \cdot (q^{2} - 1) = 3 000 \end{cases}$

Suy ra $\frac{1}{q^{3}} = \frac{24}{3 000} \Rightarrow q^{3} = 125 \Leftrightarrow q = 5$

Thay q = 5 vào biểu thức (*) ta có: u₁(5² – 1) = 24 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1, q = 5.

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết $u_{1} = 12, \frac{u_{3}}{u_{8}} = 243$ . Tìm u₉.

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n).

Ta có u₃ = u₁.q², u₈ = u₁.q⁷, suy ra $\frac{u_{3}}{u_{8}} = \frac{u_{1} \cdot q^{2}}{u_{1} \cdot q^{7}} = \frac{1}{q^{5}} = 243$ , suy ra $q = \frac{1}{3}$

Do đó $u_{9} = u_{1} \cdot q^{8} = 12 \cdot {(\frac{1}{3})}^{8} = \frac{4}{2 187}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân: $- \frac{1}{5}; a; - \frac{1}{125}$ . Tính giá trị của a.

Lời giải:

Vì 3 số $- \frac{1}{5}; a; - \frac{1}{125}$ lập thành cấp số nhân nên ta có:

$a^{2} = (- \frac{1}{5}) \cdot (- \frac{1}{125}) = \frac{1}{625}$ , suy ra $a = - \frac{1}{25}$ hoặc $a = \frac{1}{25}$

Bài 8 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3, công bội q = 2. Biết S_n = 765. Tìm n.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

$S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{3 \cdot (1 - 2^{n})}{1 - 2} = 765$

⇔ 2ⁿ – 1 = 255 ⇔ 2ⁿ = 256 = 2⁸

⇒ n = 8.

Bài 9 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 6 144 m². Tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng, biết rằng diện tích mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới.

Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 6 144 m2

Lời giải:

Diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là: u₁ = 6 144 m²

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_{2} = 6 144 \cdot \frac{1}{2} = 3 072 m^{2}$

....

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 6 144 và công bội $q = \frac{1}{2}$ , có số hạng tổng quát là: $u_{n} = 6 144 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$