Trả lời nhanh
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hai đường chéo của nó vuông góc, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là phân giác các góc. Khi tính toán, hãy tách hình thoi thành bốn tam giác vuông bằng nhau rồi dùng định lí Pythagore. Khi chứng minh, hãy chứng minh hình bình hành trước, sau đó thêm một dấu hiệu nữa.
Bài viết gồm 20 bài tập hình thoi lớp 8, sắp xếp từ dễ đến khó: tính toán (bài 1–10), chứng minh (bài 11–18) và vận dụng (bài 19–20). Em nên đọc phần nhắc lý thuyết, tự làm rồi mới xem đáp án.
1. Nhắc nhanh kiến thức về hình thoi
- Định nghĩa: hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là một hình bình hành đặc biệt.
- Tính chất: các cạnh đối song song, các góc đối bằng nhau. Hai đường chéo vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là đường phân giác của các góc ở đỉnh.
- Diện tích: S = 1⁄2·d1·d2 (d1, d2 là hai đường chéo). Chu vi P = 4a (a là cạnh).
Bốn dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
- Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
Mẹo nhớ: với hình thoi, chỉ cần biết hai đường chéo là tính được mọi thứ. Nửa đường chéo này, nửa đường chéo kia và cạnh tạo thành một tam giác vuông, trong đó cạnh là cạnh huyền.
Em có thể xem thêm phần lý thuyết ở các bài sau: Lý thuyết Hình thoi và Giải SGK Toán 8 Bài 6: Hình thoi.
2. Bài tập tính toán (bài 1–10)
Bài 1. Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 16 cm, BD = 12 cm. Tính cạnh của hình thoi.
Lời giải. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Ta có OA = 8 cm, OB = 6 cm và AC ⊥ BD. Trong tam giác OAB vuông tại O: AB2 = 82 + 62 = 100. Vậy AB = 10 cm.
Bài 2. Hình thoi có cạnh 5 cm và một đường chéo dài 6 cm. Tính đường chéo còn lại và diện tích.
Lời giải. Nửa đường chéo đã biết là 3 cm. Nửa đường chéo kia là √(52 − 32) = 4 cm, nên đường chéo còn lại dài 8 cm. Diện tích S = 1⁄2·6·8 = 24 cm2.
Bài 3. Chu vi của một hình thoi là 36 cm. Tính độ dài cạnh.
Lời giải. Bốn cạnh bằng nhau nên cạnh = 36 : 4 = 9 cm.
Bài 4. Hình thoi ABCD có góc A = 60°. Tính các góc B, C, D và góc BAC.
Lời giải. Góc đối bằng nhau nên góc C = 60°. Hai góc kề bù nhau nên góc B = góc D = 180° − 60° = 120°. AC là phân giác của góc A nên góc BAC = 60° : 2 = 30°.
Bài 5. Hình thoi ABCD có cạnh a và góc A = 60°. Chứng minh tam giác ABD đều, rồi tính BD, AC và diện tích theo a.
Lời giải. Tam giác ABD có AB = AD và góc A = 60° nên là tam giác đều, suy ra BD = a. Nửa đường chéo OA = √(a2 − (a/2)2) = a√3/2, nên AC = a√3. Diện tích S = 1⁄2·a·a√3 = a2√3/2.
Bài 6. Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
b) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
c) Hình vuông là hình thoi.
d) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi.
Đáp án. a) Đúng, đây là dấu hiệu nhận biết số 3. b) Sai, hình “cái diều” có hai đường chéo vuông góc nhưng bốn cạnh không bằng nhau. c) Đúng, vì hình vuông có bốn cạnh bằng nhau. d) Sai, tứ giác đó chỉ là hình bình hành.
Bài 7. Hình thoi có diện tích 96 cm2 và một đường chéo dài 12 cm. Tính đường chéo còn lại và cạnh.
Lời giải. Từ 96 = 1⁄2·12·d, ta được d = 16 cm. Nửa hai đường chéo là 6 cm và 8 cm, nên cạnh = √(36 + 64) = 10 cm.
Bài 8. Hai đường chéo của một hình thoi có tỉ lệ 3 : 4 và diện tích là 150 cm2. Tính độ dài hai đường chéo và cạnh.
Lời giải. Đặt hai đường chéo là 3k và 4k. Khi đó 1⁄2·3k·4k = 6k2 = 150, suy ra k = 5. Hai đường chéo dài 15 cm và 20 cm. Cạnh = √(7,52 + 102) = √156,25 = 12,5 cm.
Bài 9. Hình thoi ABCD có AB = 2x + 3 (cm) và BC = 5x − 6 (cm). Tìm x và tính chu vi.
Lời giải. Hai cạnh kề của hình thoi bằng nhau nên 2x + 3 = 5x − 6, suy ra x = 3. Khi đó AB = 9 cm và chu vi = 4·9 = 36 cm.
Bài 10. Hình thoi ABCD có góc ABC = 100°. Tính góc BAD, góc ABD và góc BAC.
Lời giải. Góc BAD = 180° − 100° = 80°. BD là phân giác của góc B nên góc ABD = 50°. AC là phân giác của góc A nên góc BAC = 40°. Kiểm tra trong tam giác OAB: 90° + 40° + 50° = 180°.
3. Bài tập chứng minh (bài 11–18)
Bài 11. Hình bình hành ABCD có đường chéo AC là phân giác của góc A. Chứng minh ABCD là hình thoi.
Lời giải. Vì AB // CD nên góc BAC = góc ACD (so le trong). Mà góc BAC = góc CAD (giả thiết), nên góc CAD = góc ACD. Tam giác DAC cân tại D nên DA = DC. Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình thoi.
Lời giải. MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN = 1⁄2AC. Tương tự PQ = 1⁄2AC, còn NP = MQ = 1⁄2BD. Trong hình chữ nhật, AC = BD nên MN = NP = PQ = QM. Vậy MNPQ là hình thoi.
Bài 13. Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
Lời giải. OM ⊥ AB, OP ⊥ CD mà AB // CD nên M, O, P thẳng hàng. Vì O là tâm đối xứng của hình thoi nên OM = OP, tức O là trung điểm MP. Tương tự O là trung điểm NQ. Điểm O nằm trên phân giác BD của góc B nên cách đều BA và BC, tức OM = ON. Do đó MP = NQ. Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau nên là hình chữ nhật.
Bài 14. Hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh AEFD và EBCF đều là hình thoi.
Lời giải. AE = DF = 1⁄2AB và AE // DF nên AEFD là hình bình hành. Vì AE = 1⁄2AB = AD nên AEFD là hình thoi. Tương tự, EBCF là hình bình hành có EB = BC nên cũng là hình thoi.
Bài 15. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác (D ∈ BC). Qua D kẻ DE // AC (E ∈ AB) và DF // AB (F ∈ AC). Chứng minh AEDF là hình thoi.
Lời giải. Tứ giác AEDF có DE // AF và DF // AE nên là hình bình hành. Đường chéo AD là phân giác của góc A, nên theo dấu hiệu số 4, AEDF là hình thoi.
Bài 16. Cho hình thoi ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh EF ⊥ AC và CE = CF.
Lời giải. EF là đường trung bình của tam giác ABD nên EF // BD. Mà BD ⊥ AC nên EF ⊥ AC. Hai tam giác CBE và CDF có CB = CD, góc B = góc D, BE = DF (cùng bằng nửa cạnh), nên chúng bằng nhau (c.g.c). Suy ra CE = CF.
Bài 17. Tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh AEDF là hình thoi.
Lời giải. DE và DF là các đường trung bình nên DE // AB, DF // AC. Vậy AEDF là hình bình hành. Ngoài ra AE = 1⁄2AC = 1⁄2AB = AF, nên AEDF là hình thoi.
Bài 18. Hình thoi ABCD có AC = BD = 12 cm. Chứng minh ABCD là hình vuông, rồi tính cạnh và diện tích.
Lời giải. Hình thoi là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật. Vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên ABCD là hình vuông. Nửa đường chéo bằng 6 cm, nên cạnh = √(62 + 62) = 6√2 cm. Diện tích = 1⁄2·12·12 = 72 cm2, trùng với (6√2)2 = 72.
4. Bài tập vận dụng (bài 19–20)
Bài 19. Hình thoi ABCD có cạnh 8 cm, góc A = 60°, O là giao điểm hai đường chéo. Tính khoảng cách từ O đến cạnh AB.
Lời giải. Tam giác ABD đều nên BD = 8 cm và OB = 4 cm. Khi đó OA = √(64 − 16) = 4√3 cm. Diện tích tam giác OAB là 1⁄2·OA·OB = 8√3 cm2. Gọi OM là khoảng cách cần tìm thì 1⁄2·AB·OM = 8√3, suy ra OM = 2√3 cm (khoảng 3,46 cm).
Bài 20. Một mảnh vườn hình thoi có hai đường chéo dài 30 m và 40 m. Người ta rào quanh vườn với giá 50 000 đồng mỗi mét. Tính diện tích vườn và tiền hàng rào.
Lời giải. Diện tích = 1⁄2·30·40 = 600 m2. Cạnh = √(152 + 202) = 25 m, chu vi = 100 m. Tiền hàng rào = 100·50 000 = 5 000 000 đồng.
5. Lỗi sai thường gặp
- Quên chia đôi đường chéo. Khi dùng Pythagore phải dùng nửa đường chéo, không phải cả đường chéo.
- Kết luận hình thoi quá sớm. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc chưa chắc là hình thoi, cần thêm điều kiện hình bình hành.
- Nhầm công thức diện tích. Với hình thoi, S = 1⁄2d1d2. Đừng quên hệ số 1⁄2.
- Thiếu bước chứng minh hình bình hành. Ba dấu hiệu sau của hình thoi đều bắt đầu từ hình bình hành.
6. Tài liệu ôn tập liên quan
- Sách bài tập Toán 8 Bài 6: Hình thoi
- 25 câu trắc nghiệm Hình thoi có đáp án
- Giải SGK Toán 8 Cánh diều
- Lý thuyết Toán 8 Cánh diều
- Đề thi Toán 8 Cánh diều
Câu hỏi thường gặp
Hình thoi có những dấu hiệu nhận biết nào?
Có bốn dấu hiệu: tứ giác có bốn cạnh bằng nhau; hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau; hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
Công thức tính diện tích hình thoi là gì?
Diện tích hình thoi bằng một nửa tích hai đường chéo: S = 1/2 · d1 · d2. Em cũng có thể tính bằng tích cạnh nhân chiều cao.
Làm sao tính cạnh hình thoi khi biết hai đường chéo?
Hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường. Lấy nửa hai đường chéo làm hai cạnh góc vuông, cạnh hình thoi là cạnh huyền: a² = (d1/2)² + (d2/2)².
Hình thoi có phải là hình bình hành không?
Có. Hình thoi có các cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành đặc biệt có thêm hai cạnh kề bằng nhau.