Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Các công thức lượng giác

Admin Vietjack Ngày: 24-09-2024 Lớp 11

2.9 K

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Giải SBT Toán 11 trang 19

Bài 1 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \frac{19 π}{24} \cos \frac{37 π}{24};$

b) $\cos \frac{41 π}{12} - \cos \frac{13 π}{12};$

c) $\frac{\tan \frac{π}{7} + \tan \frac{3 π}{28}}{1 + \tan \frac{6 π}{7} \tan \frac{3 π}{28}};$

Lời giải:

a) $sin \frac{19 π}{24} cos \frac{37 π}{24} = \frac{1}{2} [sin (\frac{19 π}{24} - \frac{37 π}{24}) + sin (\frac{19 π}{24} + \frac{37 π}{24})]$

$= \frac{1}{2} [sin (- \frac{3 π}{4}) + sin \frac{7 π}{3}] = \frac{1}{2} (- sin \frac{3 π}{4} + sin \frac{π}{3})$

$= \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} .$

b) $cos \frac{41 π}{12} - cos \frac{13 π}{12} = - 2 sin \frac{\frac{41 π}{12} + \frac{13 π}{12}}{2} sin \frac{\frac{41 π}{12} - \frac{13 π}{12}}{2}$ $= - 2 sin \frac{9 π}{4} sin \frac{7 π}{6}$

$= 2 sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

c) $\frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan \frac{6 π}{7} tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan (π - \frac{π}{7}) tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 - tan \frac{π}{7} tan \frac{3 π}{28}}$

$= tan (\frac{π}{7} + \frac{3 π}{28}) = tan \frac{π}{4} = 1.$

Bài 2 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos α = \frac{11}{61}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0,$ tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin (\frac{π}{6} - α);$

b) $\cot (α + \frac{π}{4});$

c) $\cos (2 α + \frac{π}{3});$

d) $\tan (\frac{3 π}{4} - 2 α)$

Lời giải:

a) Vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ nên sinα < 0.

Do đó, $sin α = - \sqrt{1 - {cos}^{2} α} = - \sqrt{1 - {(\frac{11}{61})}^{2}} = - \frac{60}{61}$ .

Suy ra

$sin (\frac{π}{6} - α) = sin \frac{π}{6} cos α - cos \frac{π}{6} sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{61} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{60}{61}) = \frac{11 + 60 \sqrt{3}}{122} .$

b) Ta có $tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{- \frac{60}{61}}{\frac{11}{61}} = - \frac{60}{11} .$

Do đó $cot (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{tan (α + \frac{π}{4})}$ $= \frac{1 - tan α tan \frac{π}{4}}{tan α + tan \frac{π}{4}} = \frac{1 - (- \frac{60}{11}) \cdot 1}{(- \frac{60}{11}) + 1} = - \frac{71}{49} .$

c) Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 2 \cdot {(\frac{11}{61})}^{2} - 1 = - \frac{3479}{3721}$

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (- \frac{60}{61}) \cdot \frac{11}{61} = - \frac{1320}{3721} .$

Suy ra:

$cos (2 α + \frac{π}{3}) = cos 2 α cos \frac{π}{3} - sin 2 α sin \frac{π}{3} = - \frac{3479}{3721} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{1320}{3721}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{- 3479 + 1320 \sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có $tan 2 α = \frac{sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{- \frac{1320}{3721}}{- \frac{3479}{3721}} = \frac{1320}{3479}$ .

Suy ra: $tan (\frac{3 π}{4} - 2 α) = \frac{tan \frac{3 π}{4} - tan 2 α}{1 + tan \frac{3 π}{4} tan 2 α} = \frac{- 1 - \frac{1320}{3479}}{1 + (- 1) \cdot \frac{1320}{3479}} = - \frac{4799}{2159}$ .

Bài 3 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x;

b) $\frac{\sin 3 x \cos 2 x + \sin x \cos 6 x}{\sin 4 x};$

c) $\frac{\cos x - \cos 2 x + \cos 3 x}{s inx - \sin 2 x + \sin 3 x};$

d) $\frac{2 \sin (x + y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} - \tan y .$

Lời giải:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x = sinxcosx(cos⁴x ‒ sin⁴x)

$= \frac{1}{2} sin 2 x ({cos}^{2} x - {sin}^{2} x) ({cos}^{2} x + {sin}^{2} x)$

$= \frac{1}{2} sin 2 x cos 2 x = \frac{1}{4} sin 4 x .$

b) $\frac{sin 3 x cos 2 x + sin x cos 6 x}{sin 4 x} = \frac{\frac{1}{2} (sin x + sin 5 x) + \frac{1}{2} [sin (- 5 x) + sin 7 x]}{sin 4 x}$

$= \frac{sin x + sin 5 x - sin 5 x + sin 7 x}{2 sin 4 x} = \frac{sin x + sin 7 x}{2 sin 4 x}$

$= \frac{2 sin 4 x cos 3 x}{2 sin 4 x} = cos 3 x .$

$c) \frac{cos x - cos 2 x + cos 3 x}{sin x - sin 2 x + sin 3 x} = \frac{(cos x + cos 3 x) - cos 2 x}{(sin x + sin 3 x) - sin 2 x}$

$= \frac{2 cos 2 x cos x - cos 2 x}{2 sin 2 x cos x - sin 2 x}$

$= \frac{cos 2 x (2 cos x - 1)}{sin 2 x (2 cos x - 1)} = \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = cot 2 x .$

d) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tan y = \frac{2 (sin x cos y + cos x sin y)}{2 cos x cos y} - tan y$

$= \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} - \tan y = \tan x + \tan y - \tan y = \tan x .$

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

b) $\frac{\sin 2 x \cos x}{(1 + \cos x) (1 + \cos 2 x)} = \tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = 8 \cos 2 x .$

Lời giải:

a) $4 cos x cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = 2 cos x (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= 2 cos x cos 2 x + 2 cos x cos \frac{2 π}{3}$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x - cos x = cos 3 x .$

b) $\frac{sin 2 x cos x}{(1 + cos x) (1 + cos 2 x)} = \frac{(2 sin x cos x) cos x}{(1 + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1) (1 + 2 {cos}^{2} x - 1)}$

$= \frac{2 sin x {cos}^{2} x}{4 {cos}^{2} \frac{x}{2} {cos}^{2} x}$

$= \frac{sin x}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2} .$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

$\frac{{sin}^{2} 3 x}{{sin}^{2} x} - \frac{{cos}^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} 3 x {cos}^{2} x - {cos}^{2} 3 x {sin}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{{(sin 3 x cos x)}^{2} - {(cos 3 x sin x)}^{2}}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$

$= \frac{(sin 3 x cos x + cos 3 x sin x) (sin 3 x cos x - cos 3 x sin x)}{\frac{1}{4} {sin}^{2} 2 x}$

$= \frac{4 sin 4 x sin 2 x}{{sin}^{2} 2 x} = \frac{4 (2 sin 2 x cos 2 x) sin 2 x}{{sin}^{2} 2 x}$

$= \frac{8 {sin}^{2} 2 x cos 2 x}{{sin}^{2} 2 x} = 8 cos 2 x .$

Giải SBT Toán 11 trang 20

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) $\sin^{2} x + \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x);$

b) $\cos (x - \frac{π}{3}) \cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x + \frac{π}{6}) \cos (x + \frac{3 π}{4}) .$

Lời giải:

${sin}^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (1 - 2 {sin}^{2} x - \frac{1}{2}) = {sin}^{2} x + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 2 {sin}^{2} x) = {sin}^{2} x + \frac{1}{4} - {sin}^{2} x = \frac{1}{4} .$

Vậy giá trị của biểu thức ${sin}^{2} x + cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $cos (x - \frac{π}{3}) cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{6}) cos (x + \frac{3 π}{4})$

$= \frac{1}{2} [cos \frac{7 π}{12} + cos (2 x - \frac{π}{12})] + \frac{1}{2} [cos \frac{7 π}{12} + cos (2 x + \frac{11 π}{12})]$

$= \frac{1}{2} [cos (2 x - \frac{π}{12}) + cos (2 x - \frac{π}{12} + π)] + cos \frac{7 π}{12}$

$= \frac{1}{2} [cos (2 x - \frac{π}{12}) - cos (2 x - \frac{π}{12})] + cos \frac{7 π}{12} = cos \frac{7 π}{12} .$

Vậy giá trị của biểu thức $cos (x - \frac{π}{3}) cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{6}) cos (x + \frac{3 π}{4})$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài 6 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b) $\cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} + \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \cos \frac{A}{2} .$

Lời giải:

Kí hiệu $A = \hat{A}, B = \hat{B}, C = \hat{C} .$

Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180° nên A + B + C = 180°.

Suy ra $\frac{A + B + C}{2} = 90^{\circ}$ , hay $\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$ .

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC

= cos(A + B) + cosC

= cos(180° ‒ C) + cosC

= ‒cosC + cosC = 0.

$cos \frac{B}{2} sin \frac{C}{2} + sin \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} = sin (\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = sin (90 ° - \frac{A}{2}) = cos \frac{A}{2} .$

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để $\sin 2 α = - \frac{3}{4} .$

Lời giải:

Ta có $sin α + cos α = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} sin α + \frac{\sqrt{2}}{2} cos α) = \sqrt{2} sin (α + \frac{π}{4})$

Vì $- 1 \leq sin (α + \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq sin α + cos α \leq \sqrt{2}$ .

Suy ra $- \sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$

Ta lại có ${(sin α + cos α)}^{2} = {sin}^{2} α + 2 sin α cos α + {cos}^{2} α = 1 + sin 2 α$

Suy ra $sin 2 α = {(sin α + cos α)}^{2} - 1 = m^{2} - 1$

Khi đó, $sin 2 α = - \frac{3}{4}$ hay $m^{2} - 1 = - \frac{3}{4}$ , do đó $m^{2} = \frac{1}{4}$

Suy ra $m = \frac{1}{2}$ hoặc $m = - \frac{1}{2}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy $m = \frac{1}{2}$ hoặc $m = - \frac{1}{2}$ .

Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin α = \frac{3}{5}$ , $\cos β = \frac{12}{13}$ và 0° < α, β < 90°. Tính giá trị của biểu thức sin(α + β) và cos(α ‒ β).

Lời giải:

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0. Do đó, $cos α = \sqrt{1 - {sin}^{2} α} = \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}} = \frac{4}{5} .$

Vì 0° < β < 90° nên sinβ > 0. Do đó, $sin β = \sqrt{1 - {cos}^{2} β} = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} = \frac{5}{13} .$

Khi đó,

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{56}{65}$

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{63}{65}$

Bài 9 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin6°cos12°cos24°cos48°;

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

Lời giải:

a) Đặt A = sin6°cos12°cos24°cos48°. Ta có:

cos6°.A = cos6°. sin6°cos12°cos24°cos48°

$= \frac{1}{2} sin 12^{\circ} cos 12^{\circ} cos 24^{\circ} cos 48^{\circ}$

$= \frac{1}{4} sin 24 ° cos 24 ° cos 48 ° = \frac{1}{8} sin 48 ° cos 48 ° = \frac{1}{16} sin96 ° = \frac{1}{16} cos 6 °$

Suy ra $A = \frac{1}{16} .$

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°

= cos(90° ‒ 22°)cos(90° ‒ 12°) + cos22°cos12° + cos(180° + 10°)

= sin22°sin12° + cos22°cos12° - cos10°

= (cos22°cos12° + sin22°sin12°) – cos10°

= cos(22° ‒ 12°) - cos10°

= cos10° ‒ cos10° = 0.

Bài 10 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

$x_{1} (t) = 3 \cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{3})$ (cm) và $x_{2} (t) = 3 \cos (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})$ (cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t).

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Lời giải:

a) Ta có $x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t) = 3 cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) + 3 cos (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})$

$= 3 \cdot [cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) + cos (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})]$

$= 3 \cdot 2 cos \frac{(\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) + (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})}{2} cos \frac{(\frac{π}{4} t + \frac{π}{3}) - (\frac{π}{4} t - \frac{π}{6})}{2}$

$= 6 cos \frac{\frac{π}{2} t + \frac{π}{6}}{2} cos \frac{\frac{π}{2}}{2} = 6 cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{12}) cos \frac{π}{4}$

$= 6 cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{12}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{12}) .$

Vậy phương trình của dao động tổng hợp là $x (t) = 3 \sqrt{2} cos (\frac{π}{4} t + \frac{π}{12})$ .

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ là $A = 3 \sqrt{2} cm$ và pha ban đầu là $φ = \frac{π}{12}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Lý thuyết Các công thức lượng giác

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$