Giải SBT Toán 11 trang 19 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 07-11-2023 Lớp 11

167

Với lời giải SBT Toán 11 trang 19 Tập 1 chi tiết trong Bài 3: Các công thức lượng giác sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 1 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \frac{19 π}{24} \cos \frac{37 π}{24};$

b) $\cos \frac{41 π}{12} - \cos \frac{13 π}{12};$

c) $\frac{\tan \frac{π}{7} + \tan \frac{3 π}{28}}{1 + \tan \frac{6 π}{7} \tan \frac{3 π}{28}};$

Lời giải:

a) $sin \frac{19 π}{24} cos \frac{37 π}{24} = \frac{1}{2} [sin (\frac{19 π}{24} - \frac{37 π}{24}) + sin (\frac{19 π}{24} + \frac{37 π}{24})]$

$= \frac{1}{2} [sin (- \frac{3 π}{4}) + sin \frac{7 π}{3}] = \frac{1}{2} (- sin \frac{3 π}{4} + sin \frac{π}{3})$

$= \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} .$

b) $cos \frac{41 π}{12} - cos \frac{13 π}{12} = - 2 sin \frac{\frac{41 π}{12} + \frac{13 π}{12}}{2} sin \frac{\frac{41 π}{12} - \frac{13 π}{12}}{2}$ $= - 2 sin \frac{9 π}{4} sin \frac{7 π}{6}$

$= 2 sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

c) $\frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan \frac{6 π}{7} tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan (π - \frac{π}{7}) tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 - tan \frac{π}{7} tan \frac{3 π}{28}}$

$= tan (\frac{π}{7} + \frac{3 π}{28}) = tan \frac{π}{4} = 1.$

Bài 2 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos α = \frac{11}{61}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0,$ tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin (\frac{π}{6} - α);$

b) $\cot (α + \frac{π}{4});$

c) $\cos (2 α + \frac{π}{3});$

d) $\tan (\frac{3 π}{4} - 2 α)$

Lời giải:

a) Vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ nên sinα < 0.

Do đó, $sin α = - \sqrt{1 - {cos}^{2} α} = - \sqrt{1 - {(\frac{11}{61})}^{2}} = - \frac{60}{61}$ .

Suy ra

$sin (\frac{π}{6} - α) = sin \frac{π}{6} cos α - cos \frac{π}{6} sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{61} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{60}{61}) = \frac{11 + 60 \sqrt{3}}{122} .$

b) Ta có $tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{- \frac{60}{61}}{\frac{11}{61}} = - \frac{60}{11} .$

Do đó $cot (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{tan (α + \frac{π}{4})}$ $= \frac{1 - tan α tan \frac{π}{4}}{tan α + tan \frac{π}{4}} = \frac{1 - (- \frac{60}{11}) \cdot 1}{(- \frac{60}{11}) + 1} = - \frac{71}{49} .$

c) Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 2 \cdot {(\frac{11}{61})}^{2} - 1 = - \frac{3479}{3721}$

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (- \frac{60}{61}) \cdot \frac{11}{61} = - \frac{1320}{3721} .$

Suy ra:

$cos (2 α + \frac{π}{3}) = cos 2 α cos \frac{π}{3} - sin 2 α sin \frac{π}{3} = - \frac{3479}{3721} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{1320}{3721}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{- 3479 + 1320 \sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có $tan 2 α = \frac{sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{- \frac{1320}{3721}}{- \frac{3479}{3721}} = \frac{1320}{3479}$ .

Suy ra: $tan (\frac{3 π}{4} - 2 α) = \frac{tan \frac{3 π}{4} - tan 2 α}{1 + tan \frac{3 π}{4} tan 2 α} = \frac{- 1 - \frac{1320}{3479}}{1 + (- 1) \cdot \frac{1320}{3479}} = - \frac{4799}{2159}$ .

Bài 3 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x;

b) $\frac{\sin 3 x \cos 2 x + \sin x \cos 6 x}{\sin 4 x};$

c) $\frac{\cos x - \cos 2 x + \cos 3 x}{s inx - \sin 2 x + \sin 3 x};$

d) $\frac{2 \sin (x + y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} - \tan y .$

Lời giải:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x = sinxcosx(cos⁴x ‒ sin⁴x)

$= \frac{1}{2} sin 2 x ({cos}^{2} x - {sin}^{2} x) ({cos}^{2} x + {sin}^{2} x)$

$= \frac{1}{2} sin 2 x cos 2 x = \frac{1}{4} sin 4 x .$

b) $\frac{sin 3 x cos 2 x + sin x cos 6 x}{sin 4 x} = \frac{\frac{1}{2} (sin x + sin 5 x) + \frac{1}{2} [sin (- 5 x) + sin 7 x]}{sin 4 x}$

$= \frac{sin x + sin 5 x - sin 5 x + sin 7 x}{2 sin 4 x} = \frac{sin x + sin 7 x}{2 sin 4 x}$

$= \frac{2 sin 4 x cos 3 x}{2 sin 4 x} = cos 3 x .$

$c) \frac{cos x - cos 2 x + cos 3 x}{sin x - sin 2 x + sin 3 x} = \frac{(cos x + cos 3 x) - cos 2 x}{(sin x + sin 3 x) - sin 2 x}$

$= \frac{2 cos 2 x cos x - cos 2 x}{2 sin 2 x cos x - sin 2 x}$

$= \frac{cos 2 x (2 cos x - 1)}{sin 2 x (2 cos x - 1)} = \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = cot 2 x .$

d) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tan y = \frac{2 (sin x cos y + cos x sin y)}{2 cos x cos y} - tan y$

$= \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} - \tan y = \tan x + \tan y - \tan y = \tan x .$

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

b) $\frac{\sin 2 x \cos x}{(1 + \cos x) (1 + \cos 2 x)} = \tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = 8 \cos 2 x .$

Lời giải:

a) $4 cos x cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = 2 cos x (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= 2 cos x cos 2 x + 2 cos x cos \frac{2 π}{3}$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x - cos x = cos 3 x .$

b) $\frac{sin 2 x cos x}{(1 + cos x) (1 + cos 2 x)} = \frac{(2 sin x cos x) cos x}{(1 + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1) (1 + 2 {cos}^{2} x - 1)}$

$= \frac{2 sin x {cos}^{2} x}{4 {cos}^{2} \frac{x}{2} {cos}^{2} x}$

$= \frac{sin x}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2} .$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

$\frac{{sin}^{2} 3 x}{{sin}^{2} x} - \frac{{cos}^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} 3 x {cos}^{2} x - {cos}^{2} 3 x {sin}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{{(sin 3 x cos x)}^{2} - {(cos 3 x sin x)}^{2}}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$