Với giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Giải SBT Toán 10 trang 80 Tập 1

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sinα = sin( 180° – α );

B. cosα = cos( 180° – α );

C. tanα = tan( 180° – α );

D. cotα = cot( 180° – α );

Lời giải

Đáp án đúng là A

Ta có sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau. Côsin, tan và côtan của hai góc bù nhau thì đối nhau. Vậy khẳng định đúng là A.

Bài 2 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. cos45° = sin45°;

B. cos45° = sin135°;

C. cos30° = sin120°;

D. sin60° = cos120°.

Lời giải

Đáp án đúng là D

cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45°. Khẳng định A đúng.

cos45° = sin( 90° – 45° ) = sin45° = sin ( 180° – 45° ) = sin135°. Khẳng định B đúng.

cos30° = sin ( 90° – 30° ) = sin60° = sin ( 180° – 60° ) = sin120°. Khẳng định C đúng.

Có sin60° = cos30° ≠ cos120°. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 3 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. sin90° < sin150°;

B. sin90°15’ < sin90°30’;

C. cos90°30’ > cos100°;

D. cos150° > cos120°.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có:

sin90° = 1 mà sin150° = $\frac{1}{2}$ ⇒ sin90° > sin150°. Vì vậy A sai.

sin90°15’ = 0,99999, sin90°30’ = 0,99996 ⇒ sin90°15’ > sin90°30’. Vì vậy B sai.

cos90°30’ ≈ – 8,72. 10^-3 , cos100° ≈ – 0,17 ⇒ cos90°30’ > cos100°. Vì vậy C đúng.

cos150° = $\frac{-\sqrt{3}}{2}$, cos120° = $\frac{-1}{2}$ ⇒ cos150° < cos120°. Vì vậy D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 4 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào là đúng?

A. sin150° = $\frac{-\sqrt{3}}{2}$;

B. cos150° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C. tan150° = $\frac{-1}{\sqrt{3}}$;

D. cot150° = $\sqrt{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được

sin150° = $\frac{1}{2}$, cos150° = $\frac{-\sqrt{3}}{2}$, tan150° = $\frac{-1}{\sqrt{3}}$, cot150° = $-\sqrt{3}$.

Vậy khẳng định C đúng.

Bài 5 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu b² + c² – a² > 0 thì góc A nhọn;

B. Nếu b² + c² – a² > 0 thì góc A tù;

C. Nếu b² + c² – a² < 0 thì góc A nhọn;

D. Nếu b² + c² – a² < 0 thì góc A vuông.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

Nếu b² + c² – a² > 0 hay b² + c² > a² thì 2bccosA > 0 hay cosA > 0 ( b,c là cạnh tam giác nên b,c > 0 ). Khi đó $\widehat{\text{A}}$ < 90° hay góc A nhọn.

Nếu b² + c² – a² < 0 hay b² + c² < a² thì 2bccosA < 0 hay cosA < 0 ( b,c là cạnh tam giác nên b,c > 0 ). Khi đó $\widehat{\text{A}}$ > 90° hay góc A tù.

Như vậy đáp án đúng là A.

Bài 6 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, CA = 9 cm. Giá trị cosA là:

A. $\frac{2}{3}$;

B. $\frac{1}{3}$;

C. $\frac{-2}{3}$;

D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{{\mathrm{AC}}^2+{\text{AB}}^2-{\text{BC}}^2}{2\text{AB.AC}}$ = $\frac{4^2+9^2-7^2}{\mathrm{2.4.9}}$ = $\frac{2}{3}$.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 18 cm và có diện tích bằng 64cm². Giá trị sinA là:

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B. $\frac{3}{8}$;

C. $\frac{4}{5}$;

D. $\frac{8}{9}$.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Ta có: S = $\frac{1}{2}$AB.AC. sinA ⇒ sinA = $\frac{2\text{S}}{\text{AB.AC}}$ = $\frac{64.2}{18.8}=\frac{8}{9}$.

Vậy đáp án đúng là D.

Bài 8 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC là:

A. 50 cm²;

B. 50$\sqrt{2}$ cm²;

C. 75 cm²;

D. 15$\sqrt{105}$ cm².

Lời giải

Đáp án đúng là C

Kẻ GH vuông góc với AC.

G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ GF = $\frac{1}{3}$BF .

Xét tam giác GFH và tam giác BFA:

$\widehat{\text{GHF}}=\widehat{\text{BAF}}$= 90°

$\widehat{\text{GFH}}=\widehat{\text{BFA}}$(hay chung $\widehat{\text{GFH}}$)

⇒ tam giác GFH và tam giác BFA đồng dạng (g.g)

⇒ $\frac{\text{GH}}{\text{AB}}\text{=}\frac{\text{GF}}{\text{BF}}\text{=}\frac{\text{1}}{\text{3}}$ ( Tính chất hai tam giác đồng dạng)

⇒ GH = 10 cm

Lại có FC = $\frac{1}{2}$AC = 15 cm

⇒ S_GFC = 10.15. $\frac{1}{2}$ = 75 cm²

Vậy đáp án C đúng.

Giải SBT Toán 10 trang 81 Tập 1

Bài 9 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A. 2S;

B. 3S;

C. 4S;

D. 6S.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Diện tích tam giác ABC ban đầu là: S = $\frac{1}{2}$. BC.AC.sinC

Diện tích tam giác ABC lúc sau là: S_s = $\frac{1}{2}$.2BC.3AC.sinC = 6. $\frac{1}{2}$. BC.AC.sinC = 6S.

Vậy đáp án đúng là D.

Bài 10 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho $\widehat{\text{xOy}}$ = 30°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. 1,5;

B. $\sqrt{3}$;

C. $2\sqrt{2}$;

D. 2.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Theo định lí sin ta có:

$\frac{\text{AB}}{\sin \widehat{\text{O}}}=\frac{\text{OB}}{\sin \widehat{\text{A}}}=\frac{1}{\sin 30°}=2$ 

OB = 2sin$\hat{A}$.

Ta có –1 ≤ sin$\hat{A}$≤ 1 nên OB lớn nhất khi sin$\hat{A}$ = 1 ⟺ $\hat{A}$= 90°.

Khi đó OB = 2. 

Đáp án đúng là D.

B. Tự luận

Bài 1 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$$=\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{ + b}}^{\text{2}}{\text{ + c}}^{\text{2}}}{\text{2abc}}$.

Lời giải

Theo định lí côsin: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ $\frac{\text{cosA}}{\text{a}}$ = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2a\text{bc}}$.

Tương tự ta có:

$\frac{\text{cosB }}{\text{b}}$ = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$ và $\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$ = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{b}}^2-{\text{c}}^2}{2\text{abc}}$

Như vậy: $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$ = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2a\text{bc}}$ + $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$ + $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$

⇒ $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$$=\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{ + b}}^{\text{2}}{\text{ + c}}^{\text{2}}}{\text{2abc}}$. ( ĐPCM ).

Bài 2 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Biết a = 24; b = 36; $\widehat{\text{C}}$ = 52°. Tính cạnh c và hai góc $\widehat{\text{A}}, \widehat{\text{B}}$

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

c² = a² + b² – 2abcos

c² = 24² + 36² – 2.24.36.cos52°

c = $\sqrt{{24}^2+{36}^2–\mathrm{2.24.36.}\text{cos}52°}$

c ≈ 28,43.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=\frac{\text{b}}{\text{sinB}}=\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$= $\frac{28,43}{\sin 52°}$

⇒ sinA = a : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ = 24 : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ ≈ 0,665 ⇒ $\hat{A}$≈ 41°40’56’’.

⇒ sinB = b : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ = 36 : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ ≈ 0,998 ⇒ $\hat{B}$ ≈ 86°22’32’’.

Vậy $\hat{A}$≈ 41°40’56’’ và $\hat{B}$ ≈ 86°22’32’’.

Bài 3 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 50 m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc $\widehat{\text{BPA}}$= 40° và $\widehat{\text{BQA}}$ = 52°. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: $\widehat{\text{BPA}}$= 40°, $\widehat{\text{BQA}}$ = 52°, $\widehat{\text{BAP}}$= 90°, PQ = 50 m.

$\widehat{\text{BQP}}$ là góc kề bù với $\widehat{\text{BQA}}$ ⇒ $\widehat{\text{BQP}}$ = 180° – 52° = 128°

Xét tam giác PBQ: $\widehat{\text{PBQ}}\text{}$+ $\widehat{\text{BQP}}\text{}$+ $\widehat{\text{BPQ}}$= 180°

⇒ $\widehat{\text{PBQ}}$= 180° – 128° – 40° = 12°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác PBQ ta có:

$\frac{\text{PQ}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{BQ}}{\text{sinP}}$ = $\frac{50}{\sin 12°}$ ⇒ BQ = $\frac{50}{\sin 12°}$. sinP = $\frac{50}{\sin 12°}$.sin40° ≈ 154,58 m.

Xét tam giác ABQ vuông tại A: AB = BQ. sin52° = 154,58. sin52° ≈ 121,81 m.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 121,81 m.

Bài 4 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ = 99°, b = 6, c = 10. Tính:

a) Diện tích tam giác ABC;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải

a) Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$.b.c.sin$\hat{A}$= $\frac{1}{2}$.6.10.sin99° ≈ 29,63 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 29,63 đvdt.

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA

a² = 6² + 10² – 2.6.10.cos99°

a = $\sqrt{6^2+{10}^2–\mathrm{2.6.10.}\text{cos}99°}$

a ≈ 12,44.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=2\text{R}$

⇒ R = $\frac{\text{a}}{\text{2sinA}}$ = $\frac{12,44}{2.\sin 99°}$ ≈ 6,30.

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = $\frac{a+b+c}{2}=\frac{12,44+6+10}{2}=14,22$.

Lại có: r = $\frac{\text{S}}{\text{p}}$ = $\frac{29,63}{14,22}$ ≈ 2,08.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,30 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2,08.

Bài 5 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc máy bay với vận tốc 800 km/h theo hướng lệch so với hướng bắc 15° về phía tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45° về phía tây với vận tốc 600 km/h ( Hình 1). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: $\widehat{\text{AOB}}$ = 180° – 15° – 45° = 120°.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến A đi được quãng đường là: 800.3 = 2 400 km.

Hay OA = 2 400.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến B đi được quãng đường là: 600.3 = 1 800 km.

Hay OB = 1 800.

Sau 3 giờ, hai máy bay A, B và điểm xuất phát O tạo thành tam giác OAB với OA = 2400 và OB = 1800. Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta được:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos$\widehat{\text{AOB}}$

AB² = 2400² + 1800² – 2.1800.2400.cos120°

AB = $\sqrt{{2400}^2+{1800}^2–\mathrm{2.1800.2400.}\text{cos}120°}$

AB ≈ 3650 km

Vậy sau 3 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 3650 km.

Bài 6 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:

$\frac{\tan \text{A}}{\tan \text{B}}=\frac{{\text{c}}^2+{\text{a}}^2-{\text{b}}^2}{{\text{c}}^2+{\text{b}}^2-{\text{a}}^2}$.

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bcosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$

Tương tự: cosB = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$

Theo định lí côsin ta có: $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=\frac{\text{b}}{\text{sinB}}=2\text{R}$

⇒ sinA = $\frac{\text{a}}{\text{2R}}$ và sinB = $\frac{\text{b}}{\text{2R}}$

Ta có:

$\frac{\text{tanA}}{\text{tanB}}\text{=}\frac{\text{sinA}}{\text{cosA}}\text{.}\frac{\text{cosB}}{\text{sinB}}$=$\frac{\text{a}}{\text{2R}}$.$\frac{2\text{bc}}{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}$.$\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$.$\frac{\text{2R}}{\text{b}}$ = $\frac{{\text{c}}^2+{\text{a}}^2-{\text{b}}^2}{{\text{c}}^2+{\text{b}}^2-{\text{a}}^2}$ (ĐPCM).

Bài 7 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Một tháp viễn thông cao 42 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc 34° so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33 m như Hình 2. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Lời giải

Ta biểu diễn lại hình như trên. AB là độ dài sợi dây cáp. AC là độ dài tháp. Như vậy AC = 42 m, BC = 33 m, $\widehat{\text{CMH}}$ = 34°, $\widehat{\text{MHC}}$= 90°.

Xét tam giác MCH: $\widehat{\text{MCH}}+\widehat{\text{MHC}}+\widehat{\text{CMH}}$ = 180°.

⇒ $\widehat{\text{MCH}}$ = 180° – 90° – 34° = 56°.

$\widehat{\text{ACB}}$ và $\widehat{\text{MCH}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{\text{ACB}}$ = 56° ( tính chất hai góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cos$\widehat{\text{ACB}}$

AB² = 42² + 33² – 2.42.33.cos56°

AB = $\sqrt{{42}^2+{33}^2–\mathrm{2.42.33.}\text{cos}56°}$

AB ≈ 36,1 m

Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng 36,1 m.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Giá trị lượng giác
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
 

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ . Gọi ($x_0$; $y_0$) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ $y_0$ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = $y_0$;
- Hoành độ $x_0$ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = $x_0$;
- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ ($x_0$ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$  
- Tỉ số  $\frac{y_0}{x_0}$ ($y_0$ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{x_0}{y_0};$ 
Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.
Hướng dẫn giải
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=150°.$ 

Ta có:  $\widehat{MOy}=150°-90°=60°$. 
Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right).$   
Theo định nghĩa ta có:
 $\sin 150°=\frac{1}{2};$ $\text{cos150}°=-\frac{\sqrt{3}}{2};$  $\tan 150°=-\frac{1}{\sqrt{3}};$  $\cot 150°=-\sqrt{3}.$   
Chú ý: 
a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.
Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.
cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.
Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.
Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(180° ‒ α) = sinα;
cos(180° ‒ α) = ‒cosα;
tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);
cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).
Ví dụ 3. 
a) Biết $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính cos30°, cos150°, sin120°.
b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
Suy ra: 
 $c\text{os30}°=c\text{os}\left(90°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau);
 $\text{cos150}°=cos\left(180°-30°\right)=-cos30°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 150° và 30° là hai góc bù nhau);
$\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);
b) Ta có: tan45° = 1.
Suy ra:
tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau);
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = $a^2$.sin90° + $b^2$.cos90° + $c^2$.cos180°;
b) B = 3 – ${\sin }^2$135° + 2$co{s}^2$120° ‒ 3${\tan }^2$150°.
Hướng dẫn giải
a) A =$a^2$.sin90° + $b^2$.cos90° + $c^2$.cos180°
A = $a^2$. 1+ $b^2$.0 +$c^2$.(‒1)
A = $a^2$ ‒ $c^2$.
b) B = 3 – sin2 135° + 2cos2 120° ‒ 3tan2 150° $B=3-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-3.{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$

$B=3-\frac{1}{2}+2.\frac{1}{4}-3.\frac{1}{3}$

$B=3-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1$

B = 2.
Ví dụ 5. Tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:
a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$;
b) cosα = ‒1;
c) tanα = 0;
d) $cot\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}.$  
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow$α = 45° hoặc α = 135°.
b) cosα = ‒1$\Rightarrow$α = 180°.
c) tanα = 0$\Rightarrow$α = 0° hoặc α = 180°.
d) $cot\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow$α = 120°.
4. Sử dụng máy tính cầm tay về tính giá trị lượng giác của một góc
Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác của một góc.
Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên một loại máy tính cầm tay như sau:
Sau khi mở máy, ẩn liên tiếp các phím $\boxed{SHIFT}$ $\boxed{MENU}$ để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn phím $\boxed{2}$ để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.

Ấn tiếp phím $\boxed{ 1 }$ để xác định đơn vị đo góc là “độ”.

Ấn các phím $\boxed{MENU}$  $\boxed{ 1 }$ để vào chế độ tính toán như hình ảnh dưới đây: 
 

4.1. Tính các giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100°.
Hướng dẫn giải
- Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây

$\boxed{\sin }$$\boxed{ 1 }$$\boxed{2}$$\boxed{5}$$\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}$$\boxed{)}$$\boxed{=}$:       

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy sin125° ≈ 0,81915204429.
- Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
$\boxed{cos}\boxed{5}\boxed{0}\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}\boxed{ 1 }\boxed{2}\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}\boxed{)}\boxed{=}$      
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948.
- Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
 Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426.
- Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
 Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071.
4.2. Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7;$\tan \alpha =\sqrt{2};$ cotα = 1,7.
Hướng dẫn giải
- Để tìm α khi biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
         
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
 

Vậy với sinα = 0,51 thì α ≈ 30°39'50''.
Ta đã được học với 0° < α < 180° thì sin(180° ‒ α) = sinα nên ngoài giá trị α ≈ 30°39'50'' thì ta còn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10''.
Ta bấm máy tính như sau:- Để tìm α khi biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cosα = ‒0,7 thì α ≈ 134°25'37''.
- Để tìm α khi biết $\tan \alpha =\sqrt{2},$ ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là: 

Vậy với $\tan \alpha =\sqrt{2}$ thì α ≈ 54°44'8''.
- Để tìm α khi biết cotα = 1,7, trước hết ta tính  , ta ấn liên tiếp các phím sau đây: 
 

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Sau đó ta bấm liên tiếp các phím:Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cotα = 1,7 thì α ≈ 30°27'56''.

5. Định lí côsin trong tam giác

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$
 

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

6. Định lí sin trong tam giác

Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}.$

7. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+) BC = a, CA = b, AB = c.

+) h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

+) p là nửa chu vi tam giác.

+) S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

(1) $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c;$ 

(2)$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B;$ 

(3) $S=\frac{abc}{4R};$ 

(4) S = pr;

(5) $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (Công thức Heron).

8. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

9. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.