Với giải Vận dụng 1 trang 82 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Hàm số liên tục giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Vận dụng 1 trang 82 Toán 11 Tập 1: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

 (k là một hằng số).

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0; +∞).

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞)?

Lời giải:

a) Với k = 0, hàm số 

+) Lấy x₀ ∈ (0; 400) khi đó P(x) = 4,5x

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (0; 400).

+) Tại x₀ = 400, ta có:

$\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5.400=1800$.

$\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }\left(4x\right)=4.400=1600$.

Suy ra $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)\ne \underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 400}{\lim }P\left(x\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 400.

+) Lấy x₀ ∈ (400; +∞) khi đó P(x) = 4x

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4x\right)=4x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (400; +∞) .

Vậy hàm số liên tục trên (0; 400) và (400; +∞).

b) Để hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞) thì P(x) phải liên tục trên x₀ = 400.

Do đó $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)\iff 1800=4.400+k\iff k=200$.

Vậy với k = 200 thì hàm số liên tục trên (0; +∞).

Lý thuyết Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

- Hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$

  Hàm số $y=f(x)$được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f(x)$được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

* Nhận xét:

- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn  đó.

- Nếu hàm số$y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f(a).f(b)<0$thì phương trình $f(x)=0$có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(a;b\right)$.