Bài 3 trang 47 Toán 10 Tập 1 CTST: Hàm số đồng biến, nghịch biến
Lớp 10ToánChân trời sáng tạo

Bài 3 trang 47 Toán 10 Tập 1 CTST: Hàm số đồng biến, nghịch biến

Trả lời nhanh

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1 < x2 thuộc K thì f(x1) < f(x2); nghịch biến nếu f(x1) > f(x2). Trên đồ thị, đoạn đi lên (từ trái sang phải) là đồng biến, đoạn đi xuống là nghịch biến. Với bài tập dạng này, em đọc đồ thị hoặc xét hiệu f(x1) − f(x2).

Bài 3 trang 47 trong sách Toán 10 Tập 1 (Chân trời sáng tạo) thuộc phần luyện tập về hàm số, trong đó em thường phải chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến. Trang này không chép lại đề trong sách mà hướng dẫn phương pháp và các ví dụ tự đặt, để em áp dụng cho đúng đề của mình. Em hãy đối chiếu số liệu đề trong sách khi làm.

1. Nhắc lại định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (hoặc đoạn, nửa khoảng) K.

  • Đồng biến trên K: với mọi x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Biến x tăng thì giá trị hàm cũng tăng.
  • Nghịch biến trên K: với mọi x1, x2 ∈ K mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Biến x tăng thì giá trị hàm giảm.

Mẹo nhớ: nhìn đồ thị từ trái sang phải như đi bộ lên dốc (đồng biến) hay xuống dốc (nghịch biến).

2. Cách 1: Đọc từ đồ thị

Các bước làm:

  1. Quan sát đồ thị theo chiều tăng của hoành độ x (từ trái sang phải).
  2. Xác định các điểm mà đồ thị đổi hướng (đỉnh, điểm thấp nhất, điểm cao nhất).
  3. Viết khoảng theo hoành độ x của các điểm đó, không viết theo tung độ.
Đồ thị parabol y = x^2 - 4x + 3 nghịch biến bên trái x = 2 và đồng biến bên phải x = 2
Đồ thị y = x² − 4x + 3: nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞)

Ở hình trên, đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3 có đỉnh tại điểm có hoành độ x = 2. Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞).

3. Cách 2: Xét bằng định nghĩa

Lấy x1 < x2 bất kì trong khoảng cần xét, rồi xét dấu hiệu f(x1) − f(x2) (hoặc f(x2) − f(x1)). Thường phân tích thành nhân tử có chứa (x1 − x2).

Ví dụ 1 (hàm bậc nhất)

Xét y = 3x − 2 trên ℝ. Với x1 < x2: f(x2) − f(x1) = 3(x2 − x1) > 0. Vậy hàm số đồng biến trên ℝ. Tổng quát, y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0.

Ví dụ 2 (hàm bậc hai)

Xét f(x) = x2 − 4x + 3 trên khoảng (−∞; 2).

f(x1) − f(x2) = (x12 − x22) − 4(x1 − x2) = (x1 − x2)(x1 + x2 − 4).

Với x1 < x2 < 2: x1 − x2 < 0 và x1 + x2 − 4 < 0, nên tích dương, tức f(x1) > f(x2). Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2). Làm tương tự trên (2; +∞), thừa số thứ hai dương nên hàm số đồng biến.

Ví dụ 3 (hàm phân thức)

Xét y = 1/x trên (0; +∞). Với 0 < x1 < x2: f(x1) − f(x2) = (x2 − x1)/(x1x2) > 0. Vậy hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Tương tự, hàm số cũng nghịch biến trên (−∞; 0).

4. Mẹo nhanh với hàm số bậc hai

Với y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), hoành độ đỉnh là x0 = −b/(2a).

Dấu của a Trên (−∞; x0) Trên (x0; +∞)
a > 0 Nghịch biến Đồng biến
a < 0 Đồng biến Nghịch biến

Ví dụ: y = −x2 + 2x + 1 có a = −1 < 0, x0 = 1, nên đồng biến trên (−∞; 1) và nghịch biến trên (1; +∞).

5. Lỗi sai thường gặp

  • Viết khoảng theo y thay vì theo x. Khoảng đồng biến, nghịch biến luôn là tập giá trị của biến x.
  • Gộp hai khoảng bằng dấu hợp. Hàm y = 1/x nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞), nhưng không nghịch biến trên (−∞; 0) ∪ (0; +∞): lấy x1 = −1 < x2 = 1 thì f(x1) = −1 < 1 = f(x2).
  • Quên điều kiện “với mọi”. Chỉ kiểm tra vài cặp số thì chưa kết luận được.
  • Nhầm chiều bất đẳng thức khi nhân hai vế với số âm.

6. Bài luyện tập (có đáp án)

  1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của y = −2x + 5 trên ℝ.
    Đáp án: f(x2) − f(x1) = −2(x2 − x1) < 0 khi x1 < x2, nên hàm số nghịch biến trên ℝ.
  2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của y = x2 + 6x.
    Đáp án: a = 1 > 0, x0 = −3. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −3) và đồng biến trên (−3; +∞).
  3. Hàm số y = |x| đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào?
    Đáp án: Với x < 0 thì y = −x giảm khi x tăng, nên nghịch biến trên (−∞; 0). Với x > 0 thì y = x, nên đồng biến trên (0; +∞).

Khi gặp đề cụ thể ở trang 47, em hãy xem đề cho đồ thị hay cho công thức: có đồ thị thì đọc theo mục 2, có công thức bậc hai thì dùng bảng ở mục 4, còn đề yêu cầu chứng minh thì dùng định nghĩa ở mục 3.

Câu hỏi thường gặp

Hàm số đồng biến và nghịch biến khác nhau thế nào?

Hàm số đồng biến trên K khi x tăng thì f(x) tăng, đồ thị đi lên từ trái sang phải. Hàm số nghịch biến khi x tăng thì f(x) giảm, đồ thị đi xuống.

Làm sao tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai?

Tính hoành độ đỉnh x0 = −b/(2a). Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên (−∞; x0) và đồng biến trên (x0; +∞); nếu a < 0 thì ngược lại.

Hàm số y = 1/x có nghịch biến trên cả tập xác định không?

Không. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞), nhưng không nghịch biến trên hợp của hai khoảng đó.

Khi viết khoảng đồng biến, nghịch biến cần lưu ý gì?

Viết theo giá trị của biến x, dùng ngoặc tròn với ±∞, và không gộp các khoảng rời nhau bằng dấu hợp khi kết luận tính đơn điệu.

Bài học liên quan