Với giải Bài 6 trang 98 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 6 trang 98 Toán lớp 10: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$;

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Do đó: 

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HB}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\left(-\overrightarrow{BH}\right)\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$

Suy ra: 

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B và không thuộc AB, biết 4OM² = AB². Sử dụng các kiến thức về vectơ, chứng minh MA ⊥ MB.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4OM² = AB² ⟺ (2OM)² = AB²

⇔ ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)}^2={\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ ${\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2$ 

⇔ ${\overrightarrow{\mathrm{MA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{AM}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2$

⇔ ${\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AM}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ $4\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ⇒ MA ⊥ MB (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC bất kì có I là trung điểm của AB. Chứng minh đẳng thức:

CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

VP = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$

⇔ 2VP = 4CI² + AB²

⇔ 2VP= (2CI)² + AB²

⇔ 2VP =  ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{CI}}\right)}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2$  

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\mathrm{CA}}^2+2{\mathrm{CB}}^2$= VT

⇒ CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$(đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết AB = a, AC = 2a, $\widehat{\mathrm{A}}$= 60°. Sử dụng các kiến thức về vectơ, tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)}^2$= ${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

Ta có:

${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$= AC² = (2a)² = 4a²

${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$= AB² = a²

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$ = AC.AB.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 2a.a.cos60° = 2.a.a.$\frac{1}{2}$ = a²

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 4a² – 2a² + a² = 3a²

⇒ BC² = ${\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$ = ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 3a²

⇒ BC = $\sqrt{3{\mathrm{a}}^2}$= $\mathrm{a}\sqrt{3}$.