Với giải Luyện tập 3 trang 96 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ , ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$;

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Lời giải:

+ Ta có:

${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$  (bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Vậy ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có:

${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ (bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$)

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\left(-\overrightarrow{b}\right)$

$={\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$  (áp dụng tính chất giao hoán)

 $={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Vậy ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có:

$\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Vậy $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Lý thuyết Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và số thực k tùy ý, ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}$ (tính chất phân phối);

+) $\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)\overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{a}}.\left(\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$;

+) ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ ≥ 0, ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ = 0 ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = ${\overrightarrow{\mathrm{a}}}^2$ và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right).\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$  = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\left(\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ (tính chất phân phối)

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}$

$=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

= $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)$ (tính chất giao hoán và kết hợp)

= 0

⟺ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$ (đpcm).