Với giải Bài 4 trang 98 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4 trang 98 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Xét hình vuông ABCD có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a² (định lí py – ta – go)

⇒ AC=$a\sqrt{2}$

Ta lại có đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Do đó: $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}.90°=45°$.

Ta có:   

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$=a.a\sqrt{2}.cos{45}^{\circ }$

=a²

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}{\text{=a}}^2$

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$, nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, điểm M tùy ý khác O, A, B và không thuộc AB, biết 4OM² = AB². Sử dụng các kiến thức về vectơ, chứng minh MA ⊥ MB.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4OM² = AB² ⟺ (2OM)² = AB²

⇔ ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right)}^2={\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ ${\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)}^2$ 

⇔ ${\overrightarrow{\mathrm{MA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2={\overrightarrow{\mathrm{AM}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\overrightarrow{\mathrm{MB}}}^2$

⇔ ${\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AM}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AM}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ ${\mathrm{MA}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2={\mathrm{AM}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}+{\mathrm{MB}}^2$

⇔ $4\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}.\overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ⇒ MA ⊥ MB (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC bất kì có I là trung điểm của AB. Chứng minh đẳng thức:

CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

VP = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$

⇔ 2VP = 4CI² + AB²

⇔ 2VP= (2CI)² + AB²

⇔ 2VP =  ${\left(2\overrightarrow{\mathrm{CI}}\right)}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)}^2$  

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = ${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2+{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{CA}}.\overrightarrow{\mathrm{CB}}+{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\overrightarrow{\mathrm{CA}}}^2+2{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}^2$

⇔ 2VP = $2{\mathrm{CA}}^2+2{\mathrm{CB}}^2$= VT

⇒ CA² + CB² = 2CI² + $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$(đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết AB = a, AC = 2a, $\widehat{\mathrm{A}}$= 60°. Sử dụng các kiến thức về vectơ, tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2={\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)}^2$= ${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2$

Ta có:

${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$= AC² = (2a)² = 4a²

${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$= AB² = a²

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|.\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{AC}},\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$ = AC.AB.cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$ = 2a.a.cos60° = 2.a.a.$\frac{1}{2}$ = a²

⇒ ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 4a² – 2a² + a² = 3a²

⇒ BC² = ${\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$ = ${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}^2$= 3a²

⇒ BC = $\sqrt{3{\mathrm{a}}^2}$= $\mathrm{a}\sqrt{3}$.